2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型（含解析）

2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型 1．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_____． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 2．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是_____． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 4．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 5．几何探究与实践 (1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ； (2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：； (3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明； (4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度． 6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点E，使． （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是_____； 【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是_____（用m，n的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 7．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：_____；中线的取值范围是_____． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 8．综合与探究 数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）． ①延长到点，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总 ... ...