第10章 三角恒等变换 本章 复 习 一、 单项选择题 1 (2024苏州期末)sin 164°sin 44°－cos 16°sin 46°等于( ) A. － B. － C. D. 2 (2023山东期末)在△ABC中，若sin A sin B＝(1＋cos C)，则△ABC是( ) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 3 (2024十堰期末)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0≤0<π)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α，β.若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的7倍，则2α－β的值为( ) A. － B. － C. D. 4 (2024镇江期末)设α为锐角，若cos (α＋)＝－，则cos 的值为( ) A. B. － C. － D. 5 (2024景德镇期末)已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos 的值为( ) A. B. － C. D. － 6 (2024南通期末)在锐角三角形ABC中，＝tan B＋tan C，则的取值范围为( ) A. (，＋∞) B. (，＋∞) C. (1，＋∞) D. (2，＋∞) 二、 多项选择题 7 (2024十堰期末)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x，则下列结论中正确的是( ) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于直线x＝对称 C. 不等式f(x)>2的解集是(k∈Z) D. 将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点(0，1)中心对称 8 在锐角三角形ABC中，下列命题中成立的是( ) A. 若sin A＝，tan B＝3，则Acos A＋cos B D. sin A＋sin B>1 三、 填空题 9 tan ＋tan ＋tan tan ＝_____． 10 (2023益阳二中期末)若cos (－α)＝，则sin (2α＋)＝_____． 11 在△ABC中，已知＝，则3sin A＋2sin B的最大值为_____． 四、 解答题 12 (2024河北期末)已知cos α＝，α∈. (1) 求sin 的值； (2) 若sin β＝，β∈，求cos (α＋2β)的值． 13 如图，有一条宽为 60 m 的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α. (1) 若α＝30°，求养殖区域面积的最大值； (2) 现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若h1＝30 m，求观赏长廊总长度f(α)的最小值． 第10章 三角恒等变换 1. A sin 164°sin 44°－cos 16°sin 46°＝sin (180°－16°)sin (90°－46°)－cos 16°sin 46°＝sin 16°cos 46°－cos 16°sin 46°＝sin (16°－46°)＝－sin 30°＝－. 2. C 因为cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B，cos (A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B，所以sin A sin B＝－[cos (A＋B)－cos (A－B)].因为sin A sin B＝(1＋cos C)，所以－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝(1＋cos C).又A＋B＝π－C，所以cos C＝－cos (A＋B)，所以－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝[1－cos (A＋B)]，所以cos (A－B)＝1.又A，B为△ABC的内角，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形． 3. C 由题意，得tan α＝2，tan β＝7，则tan 2α＝＝－，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为0≤α<π，且tan α>1，所以<α<，所以<2α<π.因为0≤β<π，且tan β>0，所以0<β<，所以－<－β<0，则0<2α－β<π.因为tan (2α－β)＝1，所以2α－β＝. 4. B 由α为锐角，得<α＋<.又cos (α＋)＝－，所以sin ＝＝，所以cos(2α＋)＝sin [＋]＝＝2sin cos ＝2××＝－. 5. A 因为α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，所以cos α＝－＝－＝－，cosβ＝＝＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝× ... ...
