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课件网) 第十章 三角形的有关证明 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力； 3.能够用尺规作已知线段的垂直平分线. 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 用心想一想 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 A B 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C， 且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB. A C B P M N 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌△BPC. 而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？ 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC, PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). A C B P M N 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 几何语言描述 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 深入思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗 逆命题: 到线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗 如果是, 请你证明它. 思考分析 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确. A B P 试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 方法一： 过点P作PC⊥AB,垂足为C， ∵PC⊥AB， ∴△APC和△BPC都是直角三角形. ∵PC=PC,PA=PB, ∴Rt△APC≌Rt△BPC (HL). ∴AC=BC. ∴ 点 P在AB的垂直平分线上. A C B P 方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC, ∵C为AB的中点, ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∴PC⊥AB,即P在AB的垂直平分线上. A C B P . 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 练一练 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． B C O A 你还有其他证明方法吗？ 证明： ∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. B C O A 尺规作图 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流. 做一做 1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm; 如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° . E D A B C 7 60 2. 如图 ... ...
