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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8．6.1 直线与直线垂直 明确目标 发展素养 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系． 2.理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法. 在计算两异面直线所成的角及证明直线与直线垂直的过程中，要利用空间的线、面位置关系，并进行计算，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养. a′与b′ 直角 a⊥b [微思考] 空间中两条直线所成的角的范围与异面直线所成的角的范围有区别吗？ 提示：有区别，空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.异面直线所成角只能是锐角和直角． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直． ( ) (2)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同． ( ) (3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°. ( ) √ × × 答案：C [方法技巧] 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)证明：证明找出的角就是异面直线所成的角． (3)求角：求角度，一般常利用解三角形得出． (4)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． [方法技巧] 证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直． (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等． [方法技巧] 1．关于补形作异面直线所成的角 当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体． 2．关于异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． 分析以上解析过程，试找出解答的错因，并写出正确的解题过程． 提示：异面直线所成的角α的范围是0°＜α≤90°，故解答错误．因此在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，如果是钝角，它的补角才是两异面直线所成的角． 二、应用性———强调学以致用 2．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( ) A．梯形 B．空间四边形 C．正方形 D．有一内角为60°的菱形课时跟踪检测 （二十九） 直线与直线垂直 层级(一)———四基”落实练 1．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选B 和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B. 2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1， B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ( ) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：选B 取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，所以IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.故选B. 3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是 AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是 ( ) A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 解析：选ABC 如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三 角形中位线定理可得EF∥A1C1，则EF，A1C1确定一个平面；显然 ... ...
