课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例 层级(一)———四基”落实练 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ( ) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：选D 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是 ( ) A．20 m， m B．10 m, 2 0 m C．10(－)m, 20 m D. m， m 解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)， h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)． 3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A．15 km B．30 km C．45 km D．60 km 解析：选B 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠ CBM＝15°，所以∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)． 4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 ( ) A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选B 依题意可得AD＝20(m)， AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中， 由余弦定理得cos∠CAD＝ ＝＝＝. 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_____． 解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余 弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°， ∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2. 答案：2或 7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时 14 s，则这辆汽车的速度为_____m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得BC＝ ≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.6 8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN. 解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)． 层级(二) 能力提升练 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)： ①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故 ... ...
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