课时跟踪检测（十二）正弦定理 层级(一)———四基”落实练 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 ( ) A. B. C. D. 解析：选A 根据正弦定理得＝＝.故选A. 2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形． 3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选BC 由正弦定理可知＝， ∴sin B＝＝＝， ∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°. 4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为 ( ) A．1 B．2 C.－1 D. 解析：选B 由正弦定理＝，可得＝， ∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈， ∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2. 5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C. 6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝_____. 解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2. 答案：2 7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝_____，△ABC的面积等于_____． 解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝， ∴c＝＝ ＝2， ∴S△ABC＝×2×2＝2. 答案： 2 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C， 即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C. 因为0°b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_____，c＝_____. 解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°， 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)． 答案： 3 3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝_____. 解析：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝＝2. 答案：2 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C， 得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝. (2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1， 得sin A＝ ... ...
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