课时跟踪检测 （五） 向量的数量积 层级(一)———四基”落实练 1．(多选)下列说法正确的是 ( ) A．向量b在向量a上的投影是向量 B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．若a·b＝0，则a⊥b 解析：选AB 对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B. 2．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( ) A．－ B．－ C. D. 解析：选D 由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7， 所以cos?a，a＋b?＝＝＝，故选D. 3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ ( ) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选A 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1. 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( ) A. B. C. D．1 解析：选B 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝,故选B. 5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为 ( ) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：选B 由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0， 所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为_____． 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b. 答案：b 7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝_____. 解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6. 答案：6 8．已知|a|＝1，|b|＝. (1)若a∥b且同向，求a·b； (2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|. 解：(1)若a∥b且同向，则a与b夹角为0°， 此时a·b＝|a||b|＝. (2)|a＋b|＝ ＝ ＝＝1. 层级(二) 能力提升练 1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ ( ) A．20 B. C．2 D. 解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a ＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C. 2．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 ( ) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 解析：选A cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]， ∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A. 3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝ _____. 解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9， ∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2， ∴cos〈a，c〉＝＝. 答案： 4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值． (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb) ＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2 ＝|b|22＋|a|2－. ∵b是非零向量，∴|b|≠0， ∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小． (2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0， ∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u. 5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b ... ...
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