综合素养评价（一）平面向量与正、余弦定理 1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于 ( ) A．(4,0) B．(0,4) C．(4，－8) D．(－4,8) 解析：选C 由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)． 2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 ( ) A. B． C. D．(1,0) 解析：选B 设b＝(x，y)，其中y≠0， 则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B. 3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于 ( ) A. B． C. D. 解析：选B 由正弦定理，得＝， ∴a＝b可化为＝. 又A＝2B，∴＝，∴cos B＝. 4．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋ (λ∈R)，则λ的值为( ) A．1 B． C. D. 解析：选D 过C作CE⊥x轴于点E. 由||＝2，且∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋ ＝λ＋，即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 5．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝( ) A. B. C. D. 解析：选C 方法一：由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，即sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝.又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.又b2＝ac，所以3ac＝b2，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝，a＋c＝b.由正弦定理得sin A＋sin C＝sin B＝. 6．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝_____. 解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3. 答案：3 7．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影为－2e，则|a|＝_____. 解析：∵|a|·cos 120°＝－2， ∴|a|×＝－2，∴|a|＝4. 答案：4 8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为_____． 解析：由＝ ＝ a＝c.① 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5.② 联立①②得a＝5，且c＝2. 由sin B＝且B为锐角知cos B＝， 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝. 答案： 9．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，B＝λ＋μ，则λ＋μ＝_____；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则A·D的最小值为_____． 解析：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，所以B＝，B＝(－1,0)，B＝(0,1)．因为B＝λ＋μ，所以＝λ(－1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，即λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以A＝(a,3－3a)，D＝，所以A·D＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－.所以当a＝时，A·D取得最小值，为－. 答案： － 10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 (3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c， 所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b， 所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ... ...
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