课时跟踪检测（八） 二项式系数的性质 1.11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 解析：选D 由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 2．在n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( ) A．32 B．－32 C．0 D．1 解析：选D 由题意得2n＝32，得n＝5.令x＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1. 3．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( ) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：选B 依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41，故选B. 4．若(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020(x∈R)，则＋＋…＋的值为( ) A．2 B．0 C．－2 D．－1 解析：选D (1－2x)2 020＝a0＋a1x＋…＋a2 020x2 020，令x＝，则2 020＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1. 5．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A．212 B．211 C．210 D．29 解析：选D 因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29. 6．(2024·上海高考)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为_____． 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5，则(x＋1)5的通项Tr＋1＝Cx5－r1r，令5－r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为C＝10. 答案：10 7．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为_____． 解析：由题知，展开式通项为Tr＋1＝C10－rxr,0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r＝8.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C2＝5. 答案：5 8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是_____． 解析：展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121. 答案：－121 9．(1＋3x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C(3x)5，T7＝C(3x)6， 依题意有C·35＝C·36 n＝7， ∴(1＋3x)7的展开式中，二项式系数最大的项为 T4＝C·(3x)3＝945x3， T5＝C·(3x)4＝2 835x4. 设第r＋1项系数最大，则有 5≤r≤6. ∵r∈{0,1,2，…，7}， ∴r＝5或r＝6. ∴系数最大的项为T6＝5 103x5，T7＝5 103x6. 10．在(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 将两式相加除以2可得：a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝， 即为所有奇数项系数之和． (4)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2－…－a9＝59. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. 1．已知n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为( ) A．5 B．10 C．20 D．40 解析：选B 因为n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以5的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10. 2．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为 ... ...
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