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课件网) [方法技巧] 多项式展开问题的求解方法 (1)若多项式恰好能转化为两项的完全平方的形式，则多项式展开问题即可转化为二项式的展开问题，利用相关方法求解即可，如典例(1)． (2)若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常有以下两种方法： ①利用项与项的结合转化为二项式展开问题，这时往往要利用两次展开式的二项式通项进行求解，其中项与项结合时要注意合理性与简捷性． ②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成法，求二项展开式的特定项． 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@P课时跟踪检测（七） 二项式定理 1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝( ) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 2．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：选A 因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11. 3．[多选]对于二项式n(n∈N*)，以下判断正确的是( ) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D．存在n∈N*，展开式中有含x的项 解析：选AD 二项式n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(x3)r＝Cx4r－n，不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则r＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确．故选A，D. 4．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为( ) A．6 B．－6 C．12 D．－12 解析：选A (x－)4的展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－(r＝0,1,2,3,4)．由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6. 5．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( ) A．3 B．6 C．9 D．21 解析：选B ∵x3＝[(x－2)＋2]3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6. 6．(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_____． 解析：∵T4＝Cx2y3，∴含x2y3的项的系数是C＝10. 答案：10 7．(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_____(用数字作答)． 解析：(x＋y)8展开式的通项Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 答案：－28 8．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝_____. 解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C·(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. 答案：1 9．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C， 由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)． (2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝. (3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC， 则＝＝≥1， ＝＝≥1，解得2≤r≤3. 当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x. 10．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数． 解：(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10， 本题求x10的系数，只需求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数．由Tr＋1＝Cx10－r·2r， 取r＝2得x8的系数为C×22＝180， 又x10的系数为C＝1，因此所求系数为180－1＝179. 1．若(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二 ... ...
