6.5.1直线与平面垂直 课程标准 学习目标 1、了解直线与平面垂直的定义 2、理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直 3、理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题 4、能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明. 1、了解直线与平面垂直的定义。 2、掌握直线和平面垂直的判定方法 3、掌握直线和平面垂直的性质，如相交直线垂直、角平分线垂直、垂线段定理等 知识点01 直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【即学即练1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ） A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】CD 【详解】A中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；B中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有C与D才成立． 【考查意图】 线面垂直的定义和判定 知识点02 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α 图形语言 注意：线面垂直判定定理的推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，__a⊥α_____ b⊥α， 【即学即练2】（2022高三下·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证： (1)平面ABCD； (2)平面PAD. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可证； （2）利用线面垂直的性质可知，然后由矩形性质和线面垂直的判定定理可证. 【详解】（1）因为M，N分别是PA，PB的中点, 所以. 又因为平面ABCD， 平面ABCD， 所以平面ABCD. （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD是矩形， 所以. 又，平面PAD， 所以平面PAD. 知识点03 直线与平面垂直的性质定理 1、线面垂直的性质 （1）如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线这个平面. 也垂直于这个平面 （2）过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直. 2、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线 3、直线与平面垂直的性质定理推论： 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． 符号语言：a⊥α，__b α___ a⊥b， 如图： 【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，，垂足分别为.求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理分别证明平面和平面，即可证明结论. 【详解】证明：∵，，∴， 同理， ∵平面， ∴平面， 又∵，，∴， ∵，平面， ∴平面， ∴. 知识点04 直线与平面所成的角 1、直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。 2、由定义可知：斜线与平面所成角的范围为具体操作方法： ①在直线 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面α引（通常都是找+证明）垂线A0；②连接斜足与垂足MO； ③则斜线与射影MO所成的角△AMO，就是直线与平面所成角. ... ...
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