2.2　基本不等式--2025人教A版数学必修第一册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学必修第一册 2.2　基本不等式 A级　必备知识基础练 1.[探究点一]不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 2.[探究点三]已知00,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 4.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.[探究点三]已知x<0,则x+的最大值为(　　) A.2 B.- C.-2 D. 6.[探究点三·2024江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.[探究点一·2024湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是(　　) A.因为a,b为正实数,所以≥2=2 B.因为a>3,所以+a>2=4 C.因为a<0,所以+a≥2=4 D.因为x,y∈R,xy<0,所以=-[(-)+(-)]≤-2=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立 8.[探究点二](多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2 C. D.≥2 9.[探究点三]已知t>0,则的最小值为　　　　. 10.[探究点二]已知a,b,c为正数,求证:≥3. 11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=的最小值. 小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同. 小明的解法:因为a+b=1,所以y=+1-1=+a+b-1=a++b+-1,而a+≥2=2,b+≥2=2.那么y≥2+2-1=1+2,则最小值为1+2. 小华的解法:因为a+b=1,所以y==()(a+b)=3+,而3+≥3+2=3+2,则最小值为3+2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误 (2)请说明你判断的理由. B级　关键能力提升练 12.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　) A.-3 B.2 C.3 D.8 13.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　) A. x∈R,且x≠0,x+≥2 B. x∈R,使得x2+1≤2x C.若x>0,y>0,则 D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①,②≥a+b,③,这三个不等式中,不正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 15.[2024安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是(　　) A.ab≤1 B.≥2 C.a3+b3≤2 D.a2+b2≥2 16.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　) A. B.ab≤ C.ab≤ D. 17.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. 18.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值. C级　学科素养创新练 19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=的图象上,则的最小值是　　　　　. 答案： 1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B. 2.B　由00,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·()2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以x=时,x(5-5x)取得最大值.故选B. 3.A　因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab≤,当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为.故选A. 4.A　因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A. 5.C　因为x<0,可得-x>0,则x+=-[(-x)+]≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,所以x+的最大值为-2.故选C. 6.D　由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+,β=b+,则α+β=a++b+=1+≥1+=5,当且仅当a=b=时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D. 7.ABD　对于A,a,b为正实数,有>0,>0,且=1,又当且仅当a=b时,成立,满足基本不等式的条件,A正确;对于B,当a>3时,>0,+a≥2=4,当且仅当=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a使a=成立,所以+a>4,B正确;对于C,因为a<0,则<0,不符合基本不等式成立的条件,C错误;对于D,x,y∈R,xy<0,则->0,->0,且(-)·(-)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-=-成立,满足基本不等式的条件,D正确.故选ABD. 8.AD ... ...