6.2.3　向量的数乘运算--2025人教A版数学必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学必修第二册 6.2.3　向量的数乘运算 A级必备知识基础练 1.[探究点一·2024重庆万州高一期中]化简6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)为(　　) A.6a+2b+8c B.6a-14b C.-2a-14b D.6a+2b 2.[探究点三]已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 3.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则等于(　　) A. B. C. D. 4.[探究点一]已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为(　　) ①当λ<0时,λa与a的方向一定相反; ②当λ>0时,λa与a的方向一定相同; ③当λ≠0时,λa与a是共线向量; ④当λμ>0时,λa与μa的方向一定相同; ⑤当λμ<0时,λa与μa的方向一定相反. A.2 B.3 C.4 D.5 5.(多选题)[探究点二]如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 6.[探究点三]若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　. 7.[探究点三]已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　 =　　　　. 8.[探究点二] 如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b. (1)用a,b分别表示向量; (2)求证:B,E,F三点共线. 9.[探究点一](1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a); (2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y. B级关键能力提升练 10.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 11.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 =0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　) A.2 B. C.3 D.6 12.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　) A. B. C.- D.- 13.在△ABC中,若3=2-2,则点D(　　) A.在直线AB上 B.在直线AC上 C.在直线BC上 D.为△ABC的外心 14.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 15.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是(　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 16.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　　,=　　　　　.(用a,b表示) 17.设a,b是两个不共线的非零向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　. 18.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.用向量a与b表示向量. 19.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M,N,C三点共线. C级学科素养创新练 20.用向量运算刻画三角形的重心. (1)已知△ABC,求一点G满足=0. (2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心. 6.2.3　向量的数乘运算 1.D　原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.故选D. 2.A　∵向量=2a+4b,=a+2b, =2,即A,B,D三点共线. 3.C　 如图,)=2. 4.D　根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正数或同为负数,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤是正确的. 5.AC　A选项,,A选项正确; B选项,)+,B选项错误; C选项,=-,C选项正确; D选项,=-,D选项错误.故选AC. 6.等腰梯形　由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形. 7.2　2　因为-3+2=0,所以=2(),所以=2,所以=2. 8.(1)解)=(a+b), (a+b). b,=-a+b. (2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=, .共线. 又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共 ... ...