中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学必修第二册 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量数量积的概念 A级必备知识基础练 1.[探究点一]若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b=( ) A. B. C.1 D.2 2.[探究点三]已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 3.[探究点二]已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是b,则a·b为( ) A.3 B. C.2 D. 4.[探究点一]在△ABC中,<0,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.[探究点二·2024贵州贵阳高一段考]已知|a|=2,e为单位向量,向量a与向量e的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量为( ) A.e B.-e C. D.- 6.[探究点三]设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则
等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 7.[探究点一]已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值是 . 8.[探究点二·2024广东惠州高一期末]已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影向量是 . 9.[探究点一]已知|a|=2,b2=3,在下列情况下分别求a·b. (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为150°. B级关键能力提升练 10.(多选题)给出下列判断,其中正确的是( ) A.若a2+b2=0,则a=b=0 B.已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c| C.a,b共线 a·b=|a||b| D.|a||b|=,则a在b上的投影向量为( ) A.b B.-b C.3b D.-3b 12.如图所示,一个大小为5 N,与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上,小车沿水平方向向右运动.运动过程中,小车受到的阻力大小为3 N,方向水平向左.小车向右运动的距离为2 m的过程中,小车受到的各个力都没有发生变化.求在此过程中:拉力F对小车做的功(取cos 37°≈0.8)为 ,小车克服阻力做的功为 . 13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 . 14.已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·(e1-e2)=0,且b·e1=1,则|b|= . 15.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ= . 16.如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1);(2). C级学科素养创新练 17.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( ) A. B. C. D. 18.[2024内蒙古呼和浩特高一检测]如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.如图,若正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,求的值. 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量数量积的概念 1.C a·b=|a||b|cos 60°=2×1=1. 2.B cos θ==-. 又因为0≤θ≤π,所以θ=,即θ=135°. 3.B a·b=b·b=9=. 4.C 因为=||||cos A<0, 所以cos A<0.所以角A是钝角. 所以△ABC是钝角三角形. 5.B 向量a在向量e上的投影向量为|a|cose=-e.故选B. 6.B 如图所示,设=a,=b,因为|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以以线段OA,OC为邻边作平行四边形OABC,可得△OAB是等边三角形,所以=120°. 7.-25 因为||2=||2+||2, 所以B=90°,所以=0. 因为cos C=,cos A=,所以=||·||cos(180°-C)=4×5×-=-16. =||·||cos(180°-A)=5×3×-=-9. 所以=-25. 8.-b 设a与b的夹角是θ,与b方向相同的单位向量为e,则e=,则a在b方向上的投影向量为|a|cos θe=b=-b. 9.解因为|a|=2,b2=3,所以|b|=. (1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos 0°=21=2,或a·b=|a||b|cos 180°=2(-1)=-2. (2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos 90°=20=0. (3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos 150°=2-=-3. 10.AB 由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故A正确; 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c ... ... 
