中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学必修第二册 第2课时 向量数量积的运算律 A级必备知识基础练 1.[探究点一]已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么(a-4b)2=( ) A.2 B.2 C.6 D.12 2.[探究点一]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=( ) A. B. C.2 D.3 3.[探究点二·2024天津南开高一月考]已知a,b是夹角为60°的单位向量,则|3a-2b|=( ) A.7 B.13 C. D. 4.[探究点三]已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为( ) A. B. C. D. 5.[探究点二·2024江苏南通高一段考]若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=2,则a·b=( ) A.-1 B.- C. D.1 6.[探究点三·2024广东深圳高一检测]已知a,b为单位向量,且|a+2b|=|a-b|,则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 7.[探究点一·2024云南大理高一期末]已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a= . 8.[探究点三]设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=,则a与b的夹角为 . 9.[探究点三·苏教版教材例题]已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求证:a⊥b. 10.[探究点二、三·2024北京房山高一检测]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,
=. (1)求a·b; (2)求|a-2b|; (3)若(λa+b)⊥a,求实数λ的值. B级关键能力提升练 11.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 12.已知向量a,b满足2|a|=|b|,|a+b|=|2a-b|,则向量a与b夹角的余弦值为( ) A. B.- C. D.- 13.已知非零向量a,b满足|a|=2,且=,则|a+2b|的最小值为( ) A.2 B. C. D.1 14.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足=2a,=b,则( ) A.=2a+b B.a·b=-2 C.(4a+b)⊥ D.|a-b|=1 15.[2024广东深圳高一期末]已知e1与e2是夹角为的单位向量,a=e1-2e2,b=e1+e2,下列结论正确的是( ) A.|a|= B.a·b=- C.= D.a在b上的投影向量为-b 16.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b= ,|c|= . 17.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3. (1)求|a+b|的值; (2)求a与a-2b的夹角. 18.[2024浙江宁波高一月考]单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-. (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围. C级学科素养创新练 19.已知非零向量a与b的夹角为60°,且|a|=|a-b|=1,则( ) A.|2a-b|=1 B.|a-2b|=1 C.=60° D.=60° 第2课时 向量数量积的运算律 1.D 原式=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12. 2.B 化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=或|b|=-(舍去). 3.C |3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=9-12×1×1×cos 60°+4=7,则|3a-2b|=.故选C. 4.D ∵a⊥(a+2b), ∴a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,∴a·b=-1, ∴cos==-. ∵∈[0,π],∴=.故选D. 5.B 由|a+b|=2,可得a2+2a·b+b2=4,即1+2a·b+4=4,所以a·b=-.故选B. 6.C 由题意可得|a|=|b|=1, 将|a+2b|=|a-b|两边平方,可得|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+|b|2-2a·b,整理得6a·b=-3|b|2=-3,则a·b=-. 设a与b的夹角为θ,则θ∈[0,π],则cos θ==-, 所以θ=.故选C. 7.13 ∵向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5, ∴(2a-b)·a=2a2-a·b=2×22-2×5×-=13. 8. 设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7, 所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7, 又|a|=|b|=1,所以a·b=, 所以|a||b|cos θ=,即cos θ=. 又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为. 9.解依题意,得=1,e1·e2=1×1×cos 60°=. 因为a·b=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5-8+6e1·e2=5-8+6=0,所以a⊥b. 10.解(1)a·b=|a||b|cos=1. (2)|a-2b|=. (3)由题意得(λa+b)·a=0,即λa2+a·b=0,即λ+=0,λ=-. 1 ... ... 
