【期末热点.重难点】复数的三角表示（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 复数的三角表示 一．选择题（共5小题） 1．（2024 惠来县校级模拟）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”．若复数z满足，则|z﹣eiθ|的取值范围为（　　） A．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5] 2．（2024 茂名模拟）已知，，则z1 z2＝（　　） A．0 B．i C．﹣i D． 3．（2024秋 湖北月考）若z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣1﹣4i|的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋 五华区月考）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”．已知复数z满足|z|，则|z﹣eiπ|的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 5．（2024秋 昭通期中）棣莫佛定理：若复数z＝r（cosθ+isinθ），则zn＝rn（cosnθ+isinnθ），计算（　　） A．﹣1 B． C． D． 二．多选题（共4小题） （多选）6．（2024秋 上期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　） A． B． C． D． （多选）7．（2024秋 江西月考）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（　　） A．复数为纯虚数 B．复数ei2对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆 （多选）8．（2024 安徽开学）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix＝cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为1 （多选）9．（2024 大理市校级开学）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式exi＝cosx+isinx（x∈R，e≈2.71828 ），该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄．依据欧拉公式，下列结论正确的是（　　） A．为实数 B．复数为纯虚数 C．exi e﹣xi＝1 D．设复数，则 三．填空题（共3小题） 10．（2024春 闵行区校级期末）复数（i是虚数单位）的虚部是 　 　． 11．（2024春 临夏州期末）计算：　 　． 12．（2024春 福建期末）若复数z满足，则复数z＝　 　． 四．解答题（共3小题） 13．（2024秋 邳州市月考）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz． （1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z3＝r3（cos3θ+isin3θ），并写出zn的三角形式（无需证明）； （2）求方程x5＝1虚根的实部； （3）证明：n∈N*时，． 参考数据：． 14．（2024秋 丰城市校级期中）已知 ... ...