广东省湛江市遂溪县第一中学2025届高三第九次月考数学试题(含详解)

遂溪一中高三级第九次月考 数学科试卷 总分 ：150分 时间：120分钟 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足为虚数单位，则（ ） A． B． C．1 D． 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D．无法确定，与有关 4．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A． B． C． D． 5．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A． B． C． D． 6．2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A．210 B．35 C．40 D．120 7．正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．与曲线和圆都相切的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、多选题 9．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A．且. B．且. C．且. D．. 10．已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ） A． B． C．将的图象向左平移个单位可得到的图象 D．函数在内有4个零点 11．曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ） A．曲线上不存在曲率大于的点 B．曲线在点处的曲率最大 C．曲线在点处的曲率为 D．曲线在点与处曲率相等，则 三、填空题 12．双曲线的左 右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为 . 13．某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 . 14．已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则 . 四、解答题 15．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． (1)当时，求OP的长； (2)当面积最大时，求． 16．已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 17．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19．在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 遂溪一中高三级第九次月考 数学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C C C C ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A【详解】，故.故选：A 2．A【详解】由，得，所以.故选：A 3．C【详解】由题，则， 所以.故选：C 4．B【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为．故选：B 5．【答案】C 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整 ... ...