2026届高中数学（通用版）一轮复习：第四章　第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线（课件 学案 练习，共3份）

第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线 [考试要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的中线、高线、角平分线的计算问题． 考点一　三角形的中线问题 [典例1]　(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [听课记录]_____ _____ 　解答三角形的中线问题的三种思路 (1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想． (2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)． (3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0. [跟进训练] 1．(1)(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为_____． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为_____． 考点二　三角形的角平分线问题 [典例2]　(2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0. (1)求角C的大小； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积． [听课记录]_____ _____ 　解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法． 已知AD是△ABC的角平分线，则 (1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. [跟进训练] 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积． _____ 考点三　三角形的高线问题 [典例3]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [听课记录]_____ _____ 　(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度． (2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. [跟进训练] 3．在①a sin C－c cos B cos C＝b cos2C；②5c cosB＋4b＝5a；③cos C＝c cos A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足_____． (1)求sin C； (2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h. _____ 第8课时　三角形中的中线、高线、角平分线 考点一 典例1　解：(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝， 解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 在△ABD中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 所以tanB＝＝. (2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论， 得＝－， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理的推论，得 cos ∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC ＝bc ＝bc ＝ ＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则＝)， 所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8， 则1＝(8＋2bc cos A)， 所以bc cos A＝－2①， S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2②， 由①②解得tan A＝－，所以A＝， 所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2. 法三：在△ABC中，由中线长公式可得 2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)， 即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16， 所以a2 ... ...