2026届高中数学（通用版）一轮复习：第四章　第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例（课件 学案 练习，共3份）

第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例 [考试要求]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 测量中的几个常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做_____，目标视线在水平视线下方的叫做_____ 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做_____，方位角θ的范围是_____ 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向． (　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. (　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． (　　) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是. (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是(　　) A．a，c，α B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ 2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18 n mile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10 n mile处有一灯塔，继续行驶20 min后，轮船与灯塔的距离为(　　) A．17 n mile B．16 n mile C．15 n mile D．14 n mile 3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5 m C．5(－1) m D．5(＋1) m 4．(人教A版必修第二册P52习题6.4T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝_____m. 考点一　测量距离问题 [典例1]　(2025·山东青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝8 n mile，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为_____ n mile. [听课记录]_____ _____ 　距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． [跟进训练] 1．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile _____ 考点二　测量高度问题 [典例2]　(1)(2024·浙江台州期末)如图所示，A，B，P，Q在同一个铅垂面上，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP为60°，∠QAB＝30°，斜坡AB长为m，在B处测得山顶P的仰角∠CBP为α，则山的高度PQ为(　　) A． B． C． D． (2)(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC＝102 m，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则该大厦的高度OA＝_____m. [听课记录]_____ _____ 　解决高度问题的三个注意事项 (1)要理解 ... ...