第五章 一元函数的导数及其应用 一、 单项选择题 1 (2023衡阳期末)设 ＝－6，则f′(3)的值为( ) A. －12 B. －3 C. 3 D. 12 2 已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是( ) A. (－∞，5] B. (－∞，5) C. D. (－∞，3] 3 (2024陕西月考)已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A. f(x)有2个极值点 B. f(x)在x＝1处取得极小值 C. f(x)有极大值，没有极小值 D. f(x)在区间(－∞，1)上单调递减 4 (2024烟台开学考试)如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面．若该几何体的表面积为12π，体积为V，则V2的最大值为( ) A. π2 B. 20π2 C. 56π2 D. 24π2 5 (2024长沙期末)若a＝ln ，b＝ln ，c＝－，则a，b，c的大小关系为( ) A. c0>a B. ln a>0>b C. eb>a>0 D. ln a>b>0 二、 多项选择题 7 (2024菏泽月考)下列函数中，即是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是( ) A. y＝ln |x| B. y＝－ex＋e－x C. y＝x＋sin (－x) D. y＝3x5－ 8 (2024福州期末)已知函数f(x)＝ax＋ex，x∈R，则下列结论中正确的是( ) A. 当a>0时，函数f(x)在R上单调递增 B. 当a＝－3时，函数f(x)有两个零点 C. 当a<0时，方程f(x)＝一定有解 D. 当a＝0时，f(x)－ln x>2在区间(0，＋∞)上恒成立 三、 填空题 9 (2024上海月考)函数f(x)＝x3－x，x∈[－2，2]的最小值为_____． 10 (2024六安期末)已知函数f(x)＝sin x－ax在区间上单调递减，则实数a的取值范围为_____． 11 (2024茂名月考)已知函数f(x)＝，若方程f(x)－k＝0有2个不同的实根，则实数k的取值范围是_____． 四、 解答题 12 某校在圆心角为直角，半径为1 km的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1 km的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S(km). (1) 设∠ADO＝θ，写出S关于θ的函数表达式； (2) 当S最小时，集合地点D离点A多远？并求总路程S的最小值？ 13 (2024广东月考)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1) 当a＝时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值； (2) 讨论函数f(x)的单调性； (3) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，不等式f(x)≥bx－2对 x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围． 本 章 复 习 1. B 由 ＝2 ＝2f′(3)＝－6，解得f′(3)＝－3. 2. A 由题意，得f′(x)＝9x2－2ax＋1≥0在区间[1，2]上恒成立，则2a≤＝10，所以a≤5. 3. C 由题图可知，当x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－∞，3)上单调递增，在区间(3，＋∞)上单调递减，可得f(x)有一个极大值，没有极小值，故选C. 4. A 设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝12π，则h2＝－r2>0，解得r2∈(0，6)，所以V＝2×πr2h，V2＝π2r4＝π2(36r2－r6).令t＝r2∈(0，6)，设V2＝f(t)＝π2(36t－t3)，则f′(t)＝π2·(36－3t2).令f′(t)＝0，解得t＝2.当t∈(0，2)时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当t∈(2，6)时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减，所以f(t)max＝f(2)＝π2，即V2的最大值为π2. 5. C 易得c＝－＝ln ，a＝ln ＝ln ，构造函数f(x)＝x ln x，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得00)，因为y′＝，所以切线斜率k＝，可得曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y＝(x－t) ... ...
