2026届高中数学（通用版）一轮复习：第五章　第3课时　平面向量的数量积及其应用（课件 学案 练习，共3份）

第3课时　平面向量的数量积及其应用 [考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，向量夹角的取值范围是_____． 当_____时，a与b垂直，记作a⊥b； 当_____时，a与b共线且同向； 当_____时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量_____叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：0·a＝___． 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b_____，叫做向量a在向量b上的_____，记为_____． 提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝． 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 5．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_____． (2)模：|a|＝＝__． (3)夹角：cos θ＝＝__． (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0 _____． (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立． 6．平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 7．三角形“四心”的概念 (1)重心———三角形的三条中线的交点； (2)垂心———三角形的三条高线的交点； (3)内心———三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； (4)外心———三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线． 3．三角形的“四心”的向量形式 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心 ||＝||＝||＝． (2)O为△ABC的重心 ＝0． (3)O为△ABC的垂心 ＝＝． (4)O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的夹角的取值范围是 ． (　　) (2)两个向量的数量积是一个实数． (　　) (3)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为_____． 3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____． 4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝_____． 考点一　平面向量数量积的运算 [典例1]　(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_____，的最大值为_____． [四字 ... ...