广东省东莞高级中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题(含详解)

广东省东莞高级中学2024 2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题 一、单选题 1．用0 9这10个数字可以设置成（ ）种不同的6位银行卡密码． A． B． C． D． 2．已知函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4．设，其中，且，则（ ） A．1 B．3 C．5 D．6 5．已知数列的前项和为，若，且，则（ ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 6．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 7．已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A．1 B． C．2 D．3 8．定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．的单调减区间是 D． 10．下列说法正确的是（ ） A． B． C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A．第20行中从左到右第14个数与第15个数之比为 B．记第行的第个数为，则 C．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为 D．第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为 三、填空题 12．若函数在上有极值，则实数的取值范围是 ． 13．已知圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线的离心率为 ． 14．若，则 ， ． 四、解答题 15．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____，求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 16．（1）求函数的极值． （2）证明不等式：； 17．如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，为线段上的点． (1)若，求平面与平面夹角的余弦值； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求． 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图在直角坐标系中，已知椭圆，，分别为椭圆的左，右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆分别相交于，两点，且（为原点），求直线的斜率的取值范围； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段交椭圆于点．求证：为的垂心．（垂心为三角形三条高的交点） 参考答案 1．【答案】D 【详解】由题，每一位都有10种选法，共6步，按分步乘法原理得，答案为， 故选D. 2．【答案】A 【详解】由题， ， 故选A. 3．【答案】B 【详解】由求导，， 因对于，都有成立，故， 即函数在上单调递增， 又，故. 故选B. 4．【答案】D 【详解】 ， 每一项都可被整除， 所以， 所以， 故选D. 5．【答案】C 【详解】数列的前项和满足，当时，， 两式相减，得，则， 由，得，，不满足上式， 数列的通项公式 ... ...