2024-2025 学年上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学高一下 学期期中诊断调研数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 ． 都是单位向量，以下命题正确的是( ) A. = 1 B. = → → C.若 // ，则 = D. = 2.在 中，sin = sin 是 为等腰三角形的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知点 tan , cos 在第二象限，则π 是第( )象限的角 A.一 B.二 C.三 D.四 4.已知函数的部分图像如图所示，则函数 = ( )的表达式可能是( ) A. ( ) = sin tan B. ( ) = tan sin C. ( ) = cos tan D. ( ) = tan cos 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.若log2 = 3，则 = ． 6.函数 = 2cos2 的最小正周期是 ． 7.指数函数 = ( 1) 在 上是严格增函数，则实数 的取值范围是 ． → → 8.向量 = (2, ), = (1,3)，若 // ，则实数 的值为 ． 9.若点 ( 2,1)是角 终边上的一点，则 sin = ． 10.在 中，点 是边 上一点，| | = 2| |，设 = , = ，用 .表示 = ． 11 3sin cos = 1.若 sin +cos 3，则 tan π + = ． 12 π.已知圆心角为3的扇形面积等于 3π，则该扇形的弧长为 ． 13 , 1 3.已知 都是锐角，cos = 3，cos( + ) = 5，则 sin = ． 第 1页，共 6页 14.函数 ( ) = sin + cos , ∈ [0, ]的值域为 15.已知向量 = cos , sin ， = 1, 3 ，则 的最大值为 ． 16.若存在实数 和正整数 ，使得函数 ( ) = cos2 sin 在区间 0, π 内恰有 1000 个零点，则所有满足 条件的正整数 的取值集合为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知全集 = R，集合 = ∣| 2| ≤ 1 , = 3 +1 < 0 ，求 ∩ 和 ∪ ． 18.(本小题 14 分) 已知向量 = (2,2), = (2, 1), = (4,1)． (1)求 在 上的数量投影； (2)求满足 = + 的实数 , 的值： (3)若向量 满足 ⊥ + ，且 = 2 17，求 的坐标． 19.(本小题 14 分) 在锐角△ 中角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 sin = 3 ． (1)求角 的大小； (2)若△ 面积为 3，求边 的最小值． 20.(本小题 14 分) 吴淞口灯塔 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 (单位：m)，如 示意图，垂直放置的标杆 的高度 = 3m，使 ， ， 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ = ， ∠ = . (本题的距离精确到 0.1m) (1)该小组测得 的一组值为 = 51.83°， = 47.33°，请据此计算 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 (单位：m)，使 与 之差较大，可以提 高测量精确度.若灯塔的实际高度为 20.1m，试问 为多少时， 最大？ 第 2页，共 6页 21.(本小题 14 分) 已知函数 ( ) = sin + cos + sin cos + 1 , , ∈ R ． (1)当 = = 0, = 1 时，求函数 = ( )的单调增区间； (2)当 = 1, = 0 时，设 ( ) = ( ) 1，且函数 ( ) π的图像关于直线 = 6对称，将函数 = ( )的图像 π 向右平移6个单位，得到函数 = ( )，求解不等式 ( ) ≥ 1； (3)当 = = 1, = 0 时，若实数 , , 使得 ( ) + ( ) = 1 对任意实数 恒成立，求实数 , , 的值． 第 3页，共 6页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5.8 6.π 7. > 2 8.6 9. 55 10.2 + 1 3 3 11.12/0.5 12. 2π 13.4+6 215 14.[ 1, 2] 15.3 16. 1001,1000,999,500,667 17.解：令| 2| ≤ 1，解得 1 ≤ ≤ 3，则 = [1,3]， 3 令 +1 < 0，解得 1 < < 3，则 = ( 1,3)， 故 ∩ = [1,3), ∪ = ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)． 18.(1)因为 = (2, 1)， = (4,1)，所以 = 2 × 4 + ( 1) × 1 = 7， = 42 + 12 = 17， 因此， 在 上的数量投影 ... ...
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