2024-2025 学年上海市嘉定区第二中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.sin( 120 )tan225 的值为( ) A. 32 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 2.若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为( ) A. 40πcm2 B. 80πcm2 C. 40 cm2 D. 80 cm2 3.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0)，函数 = ( ) π 4π π 2π满足 4 = 2， 3 = 0，且在区间 4 , 3 上单调， 则 的最大值为( ) A. 613 B. 8 13 C. 30 13 D. 42 13 4 π.对于任意 ∈ 0, 2 ，不等式 3 + 2sin cos 2 + sin + cos 2 ≥ ( )有以下两个结论：①当 < 4 时， 对于任意实数 ，不等式( )成立；②对于任意实数 ，总存在 > 9，使不等式( )成立那么( ) A.①正确②错误 B.①错误②正确 C.①正确②正确 D.①错误②错误 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.20o化为弧度是 弧度． 6.化简 + + = ． 7.已知角 的终边上的一点 (4,3)，则 cos = ． 8.三角形 中， = 3， = 4 π， = 4，则 = ． 9 sin +5cos 2π .已知 tan = 2，则 3π = ．3sin 2 + +sin 10.方程 sin 3cos = 2在[0,2 ]上的解组成的集合为 ． 11 .若 ( ) = sin 2024 + 2024 +1 为奇函数，则 = ． 12.已知 , 是锐角，且 sin = 47 3, cos( + ) = 11 14，则 sin = ． 13 sin + π 1.已知 4 = 3 , ∈ 0, π ，则 sin2 = ． 14.如图，为测量河对岸 ， 两点间的距离，沿河岸选取相距40 的 ， 两点，测得∠ = 60°，∠ = 45°， ∠ = 60°，∠ = 30°，则 ， 两点的距离是 . 第 1页，共 7页 15.已知点 为△ 内一点， + 2 + 3 = 0 ，则 = ． 16.已知函数 = ( )满足：①定义域为 ；②对任意 ∈ ，有 ( + ) = ( )；③当 ∈ [0, ]， ( ) = sin , 0 ≤ ≤ π2 2 π ；若函数 ( ) = 1 2 ln| |，则函数 = ( ) ( )在 上零点个数是 π π , 2 < ≤ π 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 在 中，已知 是 的中点， 是 的重心，记 = ， = ，试用 、 表示 、 ． 18.(本小题 14 分) 3 已知 sin = 5，且 为第二象限角． (1)求 cos ，tan 的值； (2) sin 2π +cos 3π+ 求 π 的值．sin 2 sin π 19.(本小题 14 分) 已知函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示． (1)求函数 = ( )的解析式； (2)求函数 = ( )的单调递增区间； (3) ∈ , 当 6 3 时，求函数 = ( )的值域． 20.(本小题 14 分) 将一块圆心角为 120°，半径为 20cm 的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法(如图所示)，让矩形一边在扇 形的一条半径 (图 1)，或让矩形一边与弦 平行(图 2)，对于图 1 和图 2，均记∠ = ． 第 2页，共 7页 (1)对于图 1，请写出矩形面积 1关于 的函数解析式； (2)对于图 2，请写出矩形面积 2关于 的函数解析式；(提示：∠ = 120°) (3)试求出 1的最大值和 2的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？ 21.(本小题 14 分) 在平面直角坐标系中，锐角 、 的终边分别与单位圆交于 、 两点． (1) 5 3如果 点的纵坐标为13， 点的横坐标为5，求 cos( + )的值； (2)若角 + 的终边与单位圆交于 点，经点 、 、 分别作 轴垂线，垂足分别为 、 、 .求证：线段 、 、 能构成一个三角形； (3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 第 3页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5.π 19/9π 6. 7.45/0.8 8.2 2 + 1 或 2 2 1 9. 35/ 0.6 10. 7 1312 , 12 11.2024 12. 3 12 /2 3 13. 79 14.20 6 15.3 16.6 17.因为 是 1的中点，则 = 2 + ，又 是 的重心， 则 = 2 = 2 × 1 + = ... ...
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