2024-2025 学年山东省青岛市青岛第十九中学高一下学期期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若 i(1 ) = 1，则 + =( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 2.在等式① 0 = 0 ；②0 = 0 ；③( ) = ( )；④若 = ，且 ≠ 0 ，则 = ；⑤非零向 量 ， 满足| | = | + |，则 ⊥ .其中正确的命题的个数是：( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图，水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 2， ′是 ′ ′ 的中点，则 的长为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知向量 , 满足 | = 1, | = 2, = 32，则 cos , + =( ) A. 24 B. 2 2 2 2 C. 4 D. 2 5.已知向量 = ( , )，若向量(12 , 5 )( > 0)与 反向，且向量 在向量(3,0)上的投影向量为( 12,0)， 则 的值为( ) A. 7 B. 17 C. 17 D. 7 6 π.若圆锥的母线长为 1，其侧面展开图的面积为2，则这个圆锥的体积为( ) A. 3π B. 324 12 π C. 3 3 6 π D. 3 π 7.已知正三棱锥的底面边长为 6，侧面积为 18 3，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A. 49π B. 49π3 C. 48π D. 36π 8.如图，在平面四边形 中， = 2, ∠ = 30°, ⊥ , ∠ = 120°，则 2 + 2的最小值为( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4 第 1页，共 8页 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在正方体 1 1 1 1的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点，则下列说法正确的是( ) A.存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B.存在四个点可以构成正四面体 C.不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D.存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 10.对于 ，有如下判断，其中正确的判断是( ) A. +2 2 + 若 = 2, = 30°，则sin +2sin = 2sin +sin = 4 B.若 = 8, = 10, = 60°，则符合条件的 有两个 C.若点 为 所在平面内的动点，且 = + , ∈ (0, + ∞)，则点 的轨迹经过 cos cos 的垂心 D.已知 是 内一点，若 2 + + 3 = 0 , , 分别表示 , △ 的面积，则 = 1: 6 11.欧拉公式e i = cos + isin 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建 立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧 拉公式，下列选项正确的是( ) π A.复数ei对应的点位于第二象限 B. e2i为纯虚数 π 3i C. eπi 1 = 0 D. e 1复数 3+i的模为2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 中， = 2 ，若 = + ，则 = ． 13.如图所示，三棱台 ′ ′ ′的体积为 7， = 2 ′ ′，沿平面 ′ 截去三棱锥 ′ ，则 剩余的部分几何体的体积为 ． 14.在锐角 中，若 2 + 2 = 2 2，则 cos 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2页，共 8页 15.(本小题 13 分) 已知复数 1 = i ， 2 = 1 i，其中 是实数． (1)若 21 = 2i，求实数 的值； (2) 若 1 是纯虚数，2 2 3 2025 ①求 1 + 1 + 1 + + 1 2 2 2 ； 2 ②当 2 1 = 1 时， 2 的最小值． 16.(本小题 15 分) 设三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 且 sin( + ) = 2 3sin2 2． (1)求角 的大小； (2) 3 21若 = 3， 边上的高为 7 ，求三角形 的周长． 17.(本小题 15 分) 在面角梯形 中，已知 // ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 4，点 是 边上的中点，点 是 边上一个动点． (1)若 是 边的中点，试用 和 表示 ； (2)①若 = 1 2 ，求 的值 ②求 的取值范围． 18.(本小题 17 分) 某同学用“五点法”画函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < π2 在某一个周期内的图象时 ... ...
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