2024-2025 学年广东省惠州市博罗县高一下学期阶段性教学质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 .已知复数 满足1 i = 2 i，则 =( ) A. 1 2i B. 1+ 2i C. 1 3i D. 1 + 3i 2.已知点 (3, 2)， (2, 1)，且 = 5 ，则点 的横坐标与纵坐标之和为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 3.在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2 sin = ，则 =( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4.如图，水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图为直角梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 2, ′ ′ = ′ ′ = 1，则原四边形 的面积为( ) A. 3 2 B. 3 C. 3 2 D. 32 2 5.如图，为了测量 ， 两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在 点、距离 点 600 米处的 点、距离 点 200 米处的 点进行观测．甲同学在 点测得∠ = 45°，乙同学在 点测得∠ = 60°，丙同学在 点测得∠ = 45°，则 ， 两点间的距离为( ) A. 400 7米 B. 400 6米 C. 200 7米 D. 200 6米 6.已知物体受平面内的三个力 1 , 2 , 3 作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若 1 = 1， 2 = (2,0)， π 且 1 , 2 的夹角为 ，则 3 3 =( ) A. 7 B. 5 C. 2 D. 3 第 1页，共 8页 7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线 1 = 4，若母线 1放置在水平地面上时，水面恰好过 的中点，那么当底面圆 水平放置时，水面高为( ) A. 2 3 4 3 2 3 4 33 π B. 3 π C. 3 + π D. 3 + π 8.已知对任意平面向量 = ( , )，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 = cos sin , sin + cos ，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点 (2,1)，点 (2 + , 1 )， = 2 2， > 0 π，点 绕点 沿逆时针方向旋转3得到点 ，则下列结论错误的是( ) A. = 2 2 B. 的坐标为 3 + 3, 3 C. 的坐标为(4, 1) D. 在 方向上的投影向量为( 1, 1) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数 = 2 1+ ( + 1)i， ∈ ，则下列结论正确的是( ) A.若 为纯虚数，则 =± 1 B.若 在复平面内对应的点位于第二象限，则 ∈ ( 1,1) C.若 = 0，则 = 1 i D.若 = 0，则| | = 1 10.已知圆锥的底面半径为 1，高为 3， 为顶点， ， 为底面圆周上两个动点，则( ) A.圆锥的体积为 3 3 π B.从点 出发绕圆锥侧面一周回到点 的无弹性细绳的最短长度为 3 3 C. π圆锥的侧面展开图的圆心角大小为2 D.圆锥截面 的面积的最大值为 3 11.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( ) A.若 2 + 2 > 2，则 为锐角； B.若 sin > sin ，则 > ； C. 若 2 + 2 2 = 2 + 2 2 ，则 为等腰三角形； D.若 不是直角三角形，则 tan + tan + tan = tan tan tan ． 第 2页，共 8页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.使不等式 2 < 2 4 + 3 i + 2(i 为虚数单位)成立的实数 = ． 13 .在直三棱柱 1 1 1中， = = 2, ∠ = 2 .若该直三棱柱的外接球表面积为 16 ，则此三棱 柱的高为 ． 14.已知非零向量 与 的夹角为锐角， 为 在 方向上的投影向量，且| | = | | = 2，则 + + 与 的夹角 的最大值是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2cos cos + cos = ． (1)求 ； (2)若 = 2， 的面积为 3，求 ， 的值． 16.(本小题 15 分) 如图，在 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， 1 1， 分别为 ， 上的两点 = 2 ， = 3 ， ， 相交于点 ． (1)求 的值； (2)求证： ⊥ ． 17.(本小题 15 分) 图①是一块正四棱台 1 1 1 1的铁料，上、下底面的边长分别为 20cm ... ...
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