2024-2025学年上海市嘉定区第二中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市嘉定区第二中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值为( ) A. B. C. D. 2.若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为( ) A. B. C. D. 3.已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为( ) A. B. C. D. 4.对于任意，不等式有以下两个结论：当时，对于任意实数，不等式成立；对于任意实数，总存在，使不等式成立那么( ) A. 正确错误 B. 错误正确 C. 正确正确 D. 错误错误 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.化为弧度是 弧度． 6.化简 ． 7.已知角的终边上的一点，则 ． 8.三角形中，，，，则 ． 9.已知，则 ． 10.方程在上的解组成的集合为 ． 11.若为奇函数，则 ． 12.已知是锐角，且，则 ． 13.已知，则 ． 14.如图，为测量河对岸，两点间的距离，沿河岸选取相距的，两点，测得，，，，则，两点的距离是 15.已知点为内一点，，则 ． 16.已知函数满足：定义域为；对任意，有；当，；若函数，则函数在上零点个数是 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在中，已知是的中点，是的重心，记，，试用、表示、． 18.本小题分 已知，且为第二象限角． 求，的值； 求的值． 19.本小题分 已知函数的部分图象如图所示． 求函数的解析式； 求函数的单调递增区间； 当时，求函数的值域． 20.本小题分 将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法如图所示，让矩形一边在扇形的一条半径图，或让矩形一边与弦平行图，对于图和图，均记． 对于图，请写出矩形面积关于的函数解析式； 对于图，请写出矩形面积关于的函数解析式；提示： 试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？ 21.本小题分 在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点． 如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值； 若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、求证：线段、、能构成一个三角形； 探究第小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.或 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.因为是的中点，则，又是的重心， 则， 又， 所以，． 18.因为，且为第二象限角， 所以，． ． 19. 根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得 ，可得，， 又因为，所以， 即； 由，，解得，， 所以的递增区间为； 当时，，此时有， 即的值域为． 20.对于图，在中，，， 矩形的面积为． 对于图，在中，由正弦定理得． 由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴，则，， 所以矩形的面积为 ． ， 当时，取最大值，最大值为； ． 当时，取最大值，最大值为． 所以，选择图裁法得到的矩形的面积更大． 21.由已知得，，，、为锐角， 则，， 则 ． 由已知得，，，， ，， ，， ，即， ， ，即， 同理，即， 由可知，线段、、能构成一个三角形． 设中的三角形为，角所对的边长为 由余弦定理可得， 设外接圆半径为，则由正弦定理可得，， ， ． 故中三角形的外接圆面积为定值． 第1页，共1页 ... ...