2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州附属中学高一下学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，且的最小值为，则( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 3.在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为( ) A. B. C. D. 4.已知则等于( ) A. B. C. D. 5.如图，在中，是线段上的一点，若则实数等于( ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，，则( ) A. B. C. D. 7.已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为 ． A. B. C. D. 8.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象的对称轴方程为 10.下列命题中，正确的是( ) A. 在中，若，则必是等腰直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则必是等边三角形 11.已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A. 若，则在上的投影向量为 B. 若两两的夹角相等，且，则 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，，若，则的值为 13.已知，都是锐角且，，则 ． 14.已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，与的夹角． 求； 若与共线，求的值． 16.本小题分 在中，，是边上的点，，，． 求 与的面积； 求边的长． 17.本小题分 设函数，其中，，，其图象的两条对称轴间的最短距离是，若对恒成立，且． 求的解析式； 在锐角中，，，是的三个内角，满足，求证：，并求的取值范围． 18.本小题分 已知函数． 求函数的对称轴方程； 若函数在区间上恰有个零点， 求实数的取值范围； 求的值． 19.本小题分 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． 若向量为函数的伴随向量，求； 若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； 若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.或 13. 14. 15.解：， 与共线， 存在唯一实数，使得 即， 又与不共线， 解得 16.解：在中，由余弦定理得， ，， ； 由知，，， 在中，由正弦定理得， 即． 17.解：由已知函数图象的两条对称轴间的最短距离是， 则，即， 又，所以， 又对恒成立，且， 则，，且， 解得，， 又，所以， 综上所述； 由得， 又， 即，即， 又为锐角三角形， 所以，，则，， 所以， 即， 又在中，， 所以， 又，即，， 则． 18.解：由题意可得：， 令，解得：， 所以的对称轴方程为． 由得：， 令，可得， 当时，令， 则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点， 作出在上的图像如下图所示， 由图像可知：当时，与恰有个不同的交点， 所以实数的取值范围为； 设与的个不同的交点分别为， 则，，则， 即，整理可得：， 所以 19.解：因， 则，故． 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得， 由正弦定理，，可得， 代入，可得， 又由余弦定理，， 可得， 于是， 解得． 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象． 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点． 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点． 故实数的取值范围为． 第1页，共1页 ... ...
