2024-2025学年山东省青岛市青岛第十九中学高一下学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市青岛第十九中学高一下学期期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则( ) A. B. C. D. 2.在等式；；；若，且，则；非零向量，满足，则其中正确的命题的个数是：( ) A. B. C. D. 3.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为( ) A. B. C. D. 4.已知向量满足，则( ) A. B. C. D. 5.已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为( ) A. B. C. D. 6.若圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 7.已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.如图，在平面四边形中，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在正方体的个顶点中任意取个不同的顶点，则下列说法正确的是( ) A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B. 存在四个点可以构成正四面体 C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D. 存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 10.对于，有如下判断，其中正确的判断是( ) A. 若，则 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心 D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则 11.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是( ) A. 复数对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数 C. D. 复数的模为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.中，，若，则 ． 13.如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 ． 14.在锐角中，若，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，，其中是实数． 若，求实数的值； 若是纯虚数， 求； 当时，的最小值． 16.本小题分 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． 求角的大小； 若，边上的高为，求三角形的周长． 17.本小题分 在面角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． 若是边的中点，试用和表示； 若，求的值 求的取值范围． 18.本小题分 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 求出实数和函数的解析式； 将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到的图象已知图象的一个对称中心为，求的最小值； 在的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围． 19.本小题分 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且若是的“费马点”，． 求角； 若为锐角三角形，求的周长的取值范围； 若，且． 求的周长 求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：复数，则， 又是实数，因此，解得， 所以实数的值是． 复数， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又， 则， 即有， 所以． 因为，所以， 所以，复数对应的点为， 因为，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 因为，所以复数对应的点为， 表示复数对 ... ...