2024-2025学年福建省厦门市厦门大学附属科技中学高一下学期期中阶段性检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数是纯虚数，则实数等于( ) A. B. C. D. 2.如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是( ) A. B. C. D. 3.已知向量，，，若，则( ) A. B. C. D. 4.已知平面，和直线，，若，，则“，”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.在中，内角所对各边分别为，且，则角( ) A. B. C. D. 6.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，下列说法正确的是( ) A. 若复数，则 B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为 10.的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 的面积为 11.如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，点在线段上运动，则( ) A. 对任意的点，有 B. 存在直线，使 C. 过点可以作条直线与，均成角 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数，则的虚部为 ． 13.将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为 ． 14.在中，内角，，的对边分别为，，，内角的平分线交于点，为的外心，若，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平行四边形中，，与相交于点，设． 用分别表示； 求的余弦值． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，． 证明：平面； 求点到平面的距离． 17.本小题分 在中，内角的对边分别是，且． 求的大小； 若，边上的高为，求的值． 18.本小题分 在中，内角、、所对的边分别为、、，其中，设向量，． 若， 求； 设点为所在平面内一点，且满足，求． 若，求内切圆面积的最大值． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． 求证：平面平面； 试作出二面角，并求二面角的正切值； 点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值注：本题建系不得分 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：在平行四边形中，， 又，所以 所以， 又，所以 所以， 过作交于， ，所以 解法：， ， 且在中， 为等边三角形，， ． 解法：如图所示建系 则， ， ， ， 16.解：取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； ，， 平面，平面，则，， ，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，得． 所以点到平面的距离为． 17.解：解法一： 因为， 所以由正弦定理及二倍角公式可得， 所以， 所以， 所以，则， 因为，所以， 所以，所以． 解法二：由解法一得到， 得，即， 因为，所以． 解法一：由三角形面积公式得， 则，所以， 由余弦定理，即， 得，解得舍去， 解法二：如图，过作于点，则， 在中，，， 所以 ， 在中，，得，即． 18.解：因为， 所以， 解得， 又因为，所以． 由， 得， ... ...
