2024-2025学年广东省惠州市博罗县高一下学期阶段性教学质量检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 2.已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为( ) A. B. C. D. 3.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则( ) A. B. C. D. 4.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形的面积为( ) A. B. C. D. 5.如图，为了测量，两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在点、距离点米处的点、距离点米处的点进行观测．甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则( ) A. B. C. D. 7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为( ) A. B. C. D. 8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，，，点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则下列结论错误的是( ) A. B. 的坐标为 C. 的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，则下列结论正确的是( ) A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知圆锥的底面半径为，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则( ) A. 圆锥的体积为 B. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 圆锥截面的面积的最大值为 11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( ) A. 若，则为锐角； B. 若，则； C. 若，则为等腰三角形； D. 若不是直角三角形，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.使不等式为虚数单位成立的实数 ． 13.在直三棱柱中，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为 ． 14.已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，的面积为，求，的值． 16.本小题分 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． 求的值； 求证：． 17.本小题分 图是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高． 求正四棱台的表面积； 若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台如图，求削去部分与圆台的体积之比． 18.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，且． 求角； 若的角平分线交于点，且，，求边的长度； 若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 19.本小题分 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量，特别地，称为零向量设，，，定义加法和数乘：，对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关． 判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ，； ，，； 已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由． 已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： 如果存在等式，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零； 如果两个等式，同时成立，其中，则． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 由题意得的 ... ...
