4.3.1　等比数列的概念 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4.3.1　等比数列的概念(1) 1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2. 了解等比中项的概念． 3. 探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系． 活动一 理解等比数列的概念 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列值得研究？ 1. 请看下面几个问题中的数列： (1) 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 9，92，93，…，910；① 100，1002，1003，…，10010；② 5，52，53，…，510. ③ (2) 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ，，，，，….④ (3) 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2，4，8，16，32，64，….⑤ (4) 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 a(1＋r)，a(1＋r)2，a(1＋r)3，a(1＋r)4，a(1＋r)5.⑥ 思考1 与等差数列类比，上述数列有什么共同的特点？ 2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式． 例1　判断下列数列是否为等比数列： (1) 1，1，1，1，1； (2) 0，1，2，4，8； (3) 1，－，，－，. 等比数列的判定： 要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数． 思考2 若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？ 活动二 了解等比中项的概念 例2　求下列等比数列中的未知项： (1) a，2，8，其中a＝　　　　； (2) 2，m，8，其中m＝　　　　； (3) －4，b，c，，其中b＝　　　　，c＝　　　　．　 等比中项的定义： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意：(1) 两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；(2) 符号相反的两个实数不存在等比中项． （2024重庆模拟）设n∈N*且n≥2，命题甲：数列{an}为等比数列；命题乙：an＝，则命题甲是命题乙的(　　) A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　 C. 充要条件　 D. 既不充分也不必要条件 证明数列{an}为等比数列的方法： (1) 定义法：＝q（q为常数，q≠0，n∈N*，n≥2）； (2) 等比中项法：＝(n∈N*，n≥2). 活动三　掌握等比数列的通项公式 探究　根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式？ 思考3 等比数列的通项公式，与哪一类函数形式类似？ 例3　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项． 例4　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. 等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*). 例5　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列． 1. （2024泰州期末）已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2＝2，a3＋a4＝12，则a1的值为(　　) A. 1 B. 2 C. D. 2. 在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A. ±4 B. 4 C. ± D. 3. （多选）（2024台州期末）已知数列{an}和{bn}(n∈N*)均为等比数列，则下列结论中正确的是(　　) A. {a}是等比数列 B. {an＋bn}一定不是等差数列 C. {an·bn}是等比数列 D. {an＋bn}一定不是等比数列 4. 在等比数列{an}中，已知a4＝18，q＝－3，则a7＝　　　　． 5. 在等比数列{an}中， (1) 已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2) 已知a3＝20，a6＝160，求an； (3) 已知an＝3×2n，求a1和q. 4．3 ... ...