4．3.2　等比数列的前n项和公式 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

4．3.2　等比数列的前n项和公式(1) 1. 探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2. 理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3. 会利用公式求等比数列的前n项和以及数列中的某些项． 活动一 探究等比数列的前n项和公式 国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知1 000颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言． 让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和． 思考1 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？ 思考2 当公比q＝1时，等比数列{an}的前n项和Sn等于多少？ 思考3 回答上述材料中的问题． 活动二　掌握等比数列的前n项和公式的应用　 例1　已知数列{an}是等比数列． (1) 若a1＝，q＝，求S8； (2) 若a1＝27，a9＝，q<0，求S8； (3) 若a1＝8，q＝，Sn＝，求n. 在等比数列{an}中， (1) 已知a1＝－1，q＝－，n＝5，求Sn； (2) 已知a1＝8，q＝，an＝，求Sn； (3) 已知a1＝，S3＝，求q. 在等比数列{an}中，有五个量a1，q，an，n，Sn，根据等比数列的通项公式和前n项和公式，通过联立方程组，可知三求二． 例2　已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn.若＝，求公比q. 等比数列求和问题一定要注意分q＝1和q≠1两种情况讨论！ 思考4 本题还有其他解法吗？ 在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an，S9. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2，a8，a5成等差数列． (1) 求等比数列{an}的公比q； (2) 判断S3，S9，S6是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由． 1. （2024成都月考）已知数列{an}是等比数列，若a3＝，S3＝，则a1的值为(　　) A. 6 B. C. 4 D. 6或 2. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则的值是(　　) A. －11 B. －8 C. 5 D. 11 3. （多选）（2024盐城期末）已知等比数列{an}的公比为q，前n(n∈N*)项和为Sn.若a1＝，S6＝9S3，则下列结论中正确的是(　　) A. q＝ B. q＝2 C. Sn＝2an－(n∈N*) D. Sn＋1＝2Sn＋(n∈N*) 4. 已知在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则a3＝　　　　． 5. （2024广西期末）已知数列{an}为等比数列． (1) 若a1＝－2，a6＝，求{an}的前4项和S4； (2) 若公比q＝2，{an}的前6项和S6＝189，求a1. 4．3.2　等比数列的前n项和公式(2) 1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式． 2. 探究并掌握等比数列前n项和的简单性质． 活动一　理解等比数列的通项公式及前n项和公式　 1. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝　　　　． 2. 已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝　　　　． 活动二　掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系　 练习：求出下列等比数列的前n项和Sn. (1) 1，，，，…，则Sn＝_____； (2) a1＋a6＝66，a2·a5＝128，则Sn＝　　　　　　　　　　　　． 例1　数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，证明：数列{an}是等比数列． 思考1 非常数列的等比数列前n项和的一般形式是怎样的？它是什么样的结构？ 活动三　掌握等比数列前n项和的性质　 例2　一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和 ... ...