广东省广州市衡美高级中学2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题（含详解）

广东省广州市衡美高级中学2024 2025学年高二下学期期中检测数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知向量，满足，则（ ） A． B．1 C． D．2 2．已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A．55 B．50 C．100 D．58 3．在展开式中，的系数为（ ） A．15 B．90 C．270 D．405 4．已知函数在处可导，且，则（ ） A． B．9 C． D．1 5．已知数列，则该数列的第99项为（ ） A． B．197 C． D．199 6．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A．1 B．3 C． D． 7．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 8．树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ） A．36 B．48 C．54 D．56 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，，，则（ ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 11．已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（ ） A． B．n的取值为2、3、4 C． D．mn的取值为3、6、9 三、填空题（本大题共3小题） 12．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 13．已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为 ． 14．将9个互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 16．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若_____，求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 17．如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数 (1)当 时，求函数的单调区间； (2)若函数 在区间 上有1个零点，求实数k的取值范围； (3)若 在 上恒成立，求出正整数k的最大值； 19．定义正方形数阵满足，其中i，. (1)若，求数阵所有项的和T； (2)若m，n，p，，求证：也是数阵中的项； (3)若，，且，求的值为奇数的概率. 参考答案 1．【答案】D 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选D. 2．【答案】A 【详解】由题意，. 故选A. 3．【答案】B 【详解】在展开式中，的项为， 所以所求的系数为90. 故选B 4．【答案】B 【详解】. 故选B. 5．【答案】B 【详解】通过观察，该数列的通项公式为， 所以. 故选B. 6．【答案】C 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选C. 7．【答案】B 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选B. 8．【答案】C 【详解】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜 ... ...