2024-2025 学年广东省东莞市常平中学等三校高一下学期期中联考 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数 = 3 4i，则 的虚部为( ) A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 2.在四边形 中，若 = + ，则四边形 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.菱形 的边长为 2，且∠ = 60°， =( ) A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 4.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 30 , = 2, = 2,则角 为( ) A. 15° B. 45° C. 15°或 105° D. 45°或 135° 5 2π.已知圆锥的底面半径为 2，侧面展开图为圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的高为( ) A. 6 B. 4 2 C. 4 D. 3 6.已知 ， ， 为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，则下面命题正确的是( ) A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 // C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， // ，则 // 7.如图，为测量河对岸 ， 两点间的距离，选取相距 40 的 ， 两点，测得∠ = 60°，∠ = 30°， ∠ = 45°，∠ = 60°，则 ， 间的距离为 A. 40 2 B. 20 2 C. 40 6 D. 20 6 8.点 , , , 在 所在平面内，满足 = = ， + + = 0 ， = = ， = = 0.则点 , , , 依次为 的( ) A.重心、外心、内心、垂心 B.外心、重心、内心、垂心 C.重心、垂心、外心、内心 D.外心、重心、垂心、内心 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 第 1页，共 7页 9.已知 为虚数单位， 为复数 的共轭复数， 1 = 1 2 + 3 i 1 32 ， 2 = 2 2 i.则下列选项中正确的有( ) A. 1 = 2 B. 1 = 2 C. 1 > 2 D. 1 + 21 + 1 = 0 10.已知向量 = ( 2,1), = (1, )，则下列说法正确的是( ) A. 1若 // ，则 = 2 B.若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 < 2 C.若 + ⊥ ，则 = 2 D.若 = 3，则 在 方向上的投影向量为(2, 1) 11.如图，空间四边形 中， , 分别是边 ， 的中点， , 分别在线段 , 上，且满足 = ， = ， , ∈ (0,1)，则下列说法正确的是( ) A.当 = = 12时，四边形 是矩形 B.当 = = 23时，四边形 是梯形 C.当 ≠ 时，四边形 是空间四边形 D.当 ≠ 时，直线 , , 相交于一点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知复数 = 3 + i ∈ R 对应的点到原点的距离是 + 1，则实数 = ． 13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且 4 个顶点 , , , 在同一个平面内，四边形 是正方 形，这个八面体的表面积为 8 3，则正方形 的边长是 ． 14.若 1 , 2 是夹角为 60°的两个单位向量，则 = 2 1 + 2 与 = 3 1 + 2 2 的夹角大小为 ． 第 2页，共 7页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 求当 为何实数时，复数 = ( 2 2 3) + ( 2 + 12)i 满足： (1) 为实数； (2) 为纯虚数； (3) 位于第四象限． 16.(本小题 15 分) π 已知： = 2， = 3，向量 与 的夹角为3． (1)求 ； (2)求 ； (3)若 2 + 与 + 4 垂直，求实数 的值． 17.(本小题 15 分) 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 sin = 3 cos ． (1)求角 ； (2)若 = 7, = 2，求 的面积． 18.(本小题 17 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为棱 的中点，平面 与棱 交于点 ． (1)求证： //平面 ； (2)求证： 为 的中点； 19.(本小题 17 分) 如图，在边长为 1 的正三角形 中， 为 的中点， = 2 ，过点 的直线交边 与点 ，交边 于点 ． 第 3页，共 7页 (1)用 ， 表示 ； (2)若 = ， = 1 1，求 + 的值； (3)求 2 + 2的取值范围． 第 4页，共 7页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.4 13.2 ... ...
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