2024-2025学年安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学高一下学期 4月期中 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.向量( + ) + ( + ) + =( ) A. B. C. D. 2.已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量 3 与 + (2 ) 共线，则实数 的值为( ) A. 1 或 3 B. 3 C. 1 或 4 D. 3 或 4 3.向量 的模为 10，它与向量 的夹角为 150°，则它在 方向上的投影向量的模为( ) A. 5 B. 5 3 C. 5 D. 5 3 4.如图是四边形 的水平放置的直观图 ′ ′ ′ ′，则原四边形 的面积是( ) A. 14 B. 10 2 C. 28 D. 14 2 5.若 ∈ C，且| | + = 5 + 3i，那么 等于( ) A. 225 B. 2 3i C. 22 5 + 2 3i D. 2 3i 6.已知复数 1 = 3 + 4 ， 2 = + ，且 1 2是实数，则实数 等于( ) A. 3 44 B. 3 C. 4 3 3 D. 4 7.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A. 1+4π B. 1+2π C. 1+2π 1+4π4π π 2π D. 2π 8.某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 6 ，上 下底面圆的半径分别为 4 2 . 2和 为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯3高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则 杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套的厚度)( ) A. 683 πcm 2 B. 24πcm2 C. 763 πcm 2 D. 25 cm2 第 1页，共 6页 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若 1， 2是方程 2 + + 1 = 0 的两个虚数根，则( ) A. 的取值范围为[ 2,2] B. 1的共轭复数是 2 C. 1 2 = 1 D. 1 + 2为纯虚数 10.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为 1: 2，则关 于上、下两空间图形的说法正确的是( ) A.侧面积之比为 1: 4 B.侧面积之比为 1: 8C.体积之比为 1: 27 D.体积之比为 1: 26 11.在 中，已知 : : = 7: 5: 3，下列结论中正确的是( ) A.这个三角形被唯一确定 B. 一定是钝角三角形 C. sin : sin : sin = 7: 5: 3 D.若 + = 8 15 3，则 的面积是 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 (1+i)(4+3i).计算： (2 i)(1 i) = ． 13.在 中， = 3， = 1， = 30°，则 的面积等于 ． 14 3.已知过球面上三点 ， ， 的截面到球心的距离等于球半径的 2 ，且 = 8, = 6, = 10，则球的 表面积是 ，体积是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 复数 = (2 2 1) + ( 1)i, ∈ ． (1)若 为实数，求 的值； (2)若 为纯虚数，求 的值； (3)若 = 9 3i，求 的值． 16.(本小题 15 分) 已知 1 + i 是方程 2 + + = 0( ， 为实数)的一个根． (1)求 ， 的值； (2)试判断 1 i 是不是方程的根． 17.(本小题 15 分) 第 2页，共 6页 记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 cos + cos = 2 cos ． (1)求 ； (2)若 为锐角三角形，求 的取值范围． 18.(本小题 17 分) π 5π 已知复数 1 = 2sin 3i, 2 = 1 + 2cos i，其中 为虚数单位， ∈ 6 , 6 ． (1)若 1 2是实数，求 1 2的值； (2)设复数 1， 2对应的向量分别是 ， ，若 2 ⊥ 2 ，求 sin 的值． 19.(本小题 17 分) 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图， 、 是邛海水面上位于东西方向相距 3 + 3公里的两 个观测点，现位于 点北偏东60 、 点西北方向的 点有一艘渔船发出求救信号，位于 点南偏西75 且与 点相距 3 6公里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 公里/小时.求： (1)观测点 与 点处的渔船间的距离； (2) 点的救援船到达 点需要多长时间？ 第 3页，共 6页 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 2 + / 2 1 ... ...
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