浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（含解析）

浙江省杭州市北斗联盟2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．已知集合，，则（ ） A．R B． C． D． 2．已知复数，，则（ ） A． B．3 C． D．2 3．已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ） A．15 B．90 C．270 D．540 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数在处的切线为，则（ ） A． B． C． D．1 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（ ） A．2 B． C．3 D． 8．数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C．曲线与有8个交点 D．曲线所围成图形的面积小于2 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11．在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ） A．与所成角的余弦的最大值为 B． C．若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 D．若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是 ． 13．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 . 14．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 (1)求； (2)若，点在延长线上，且，求． 16．公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18．已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为. （1）求抛物线的方程； （2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值. 19．已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 参考答案 1．【答案】B. 【详解】因为, , 所以. 故选B. 2．【答案】D 【详解】由题意， 则. 故选D. 3．【答案】B 【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1， 解得，即， 因为不一定能得到，而可推出， 所以“1”是“直线上存在点，使点 ... ...