重庆市第八中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（含解析）

重庆市第八中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（ ） A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上 2．甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（ ） A．包含于 B． C．与互斥 D． 5．过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 6．正项数列的前项和为，首项，已知函数有且仅有两个零点，则（ ） A．120 B．125 C．57 D．247 7．定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组： 乙组： 则下列说法正确的是（ ） A．甲组数据的第百分位数是 B．乙组数据的众数是 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 10．椭圆的左、右焦点分别为，点在上，圆是以椭圆的短轴为直径的圆，为圆的一条直径（在第一象限），直线与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则的面积为 B．若，则直线被椭圆截得的弦长为 C．若是以为其中一腰的等腰三角形，则满足条件的点有6个 D．若为与轴正半轴的交点，，则直线的斜率为 11．定义域为的函数的导函数记为，的导函数为，若为奇函数，为偶函数，下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题） 12．经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ． 13．若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 14．对恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题） 15．记是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列． （1）求和． （2）若，证明：数列的前项和． 16．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 17．如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，存在极大值，求实数的取值范围； （3）证明：函数存在零点的充要条件是． 19．双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点． （1）求实数的值； （2）作斜率为的过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为． （i）求证：： （ii）若，且，记，证明：． 参考答案 1．【答案】C 【详解】因为事件“至少有一次正面朝上”， 所以由对立事件的定义得事件“两次均反面朝上”，故C正确. 故选C 2．【答案】B 【详解】因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有种情况， 符合条件的有，共种， ... ...