2024-2025 学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A. = sin B. = sin2 C. = cos D. = cos2 2.在 中， 为 的中点，若 = ， = ，则 为( ) A. 1 2 B. 1 + 2 C. 12 D. + 1 2 3.下列命题中正确的是( ) sin A.若 ∈ π2 , π 2 且 2 > 1 > 0 ，则 2 < 11 cos B. ∈ π , π若 且 > > 0 ，则 22 2 1 2 > 11 C. ∈ π , π cos 若 2 2 且 2 > 1 > 0 ，则 2 > 11 π π sin D.若 ∈ , 22 2 且 1 > 2 > 0，则 < 11 4.在平面直角坐标 中，已知任意角 以坐标原点为顶点， 轴的非负半轴为始边，若终边经过点 0, 0 ， 且| | = ( > 0) + ，定义 sos = 0 0 ，称“sos 正余弦函数”，对于“正余弦函数 = sos ”，有同学得 到以下性质， ①该函数的值域为 2, 2 ；②该函数的图象关于原点对称； 3 ③该函数的图象关于直线 = 4π对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为 2π． 其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 5.化简向量运算： + + + = ． 6.在 中，若sin2 = sin2 + sin2 ，则这个三角形一定为 三角形． 7 π.已知圆心角为6的扇形面积等于 3π，则该扇形的半径为 ． 8.已知 tan = 1 sin cos 2，则sin +cos = ． 9.已知 = (2,1), = (3,4)，则 在 方向上的投影为 10.已知向量 = cos , sin ， = 1, 3 ，则 的最大值为 ． 第 1页，共 6页 11.已知奇函数 ( )的一个周期为 2，当 ∈ (0,1)时， ( ) = cos 3，则 (7.5) = ． 12.已知平面向量 = (1,2)， = (3, 2)， = + 3 ， = + .若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围 是 ． 13.设函数 ( ) = sin π π6 + ( > 0)，若 ( ) ≤ 3 对任意的实数 都成立，则 的最小取值等于 ． 14.已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 在正六边形的边上 运动， 为圆 的直径，则 的取值范围是 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 16 分) 已知 cos = 35， ∈ ( , 2 )． (1)求 cos2 的值； (2)若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，且终边经过点(3, 1)，求 tan( )的值． 16.(本小题 16 分) 已知向量 ， 满足 = 5， = 4， + ⊥ ． (1)求 与 的夹角的余弦值； (2)求 2 + ． 17.(本小题 16 分) 如图，某城市有一矩形街心广场 ，如图.其中 = 4 百米， = 3 百米.现将在其内部挖掘一个三角形 水池 种植荷花，其中点 在 边上，点 在 边上，要求∠ = 4． 第 2页，共 6页 (1)若 = = 2 百米，判断 是否符合要求，并说明理由； (2)设∠ = ，写出 面积的 关于 的表达式，并求 的最小值． 18.(本小题 16 分) 已知函数 ( ) = 2cos2 2 3sin + π3 cos + π 3 , ∈ ． (1)求函数 ( )的最小正周期； (2)若函数 ( ) = π ，求函数 ( )的单调递减区间； (3) π π若函数 ( ) + 1 = 0 在区间 6 , 2 上有两个不等实根，求实数 的取值范围． 19.(本小题 16 分) 定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ( ∈ )，向量 = ( , )称为函数 ( ) = sin + cos ( ∈ )的“相伴向量”(其中 为坐标原点)． (1)设 ( ) = 2sin π ( ∈ )，写出函数 ( )的相伴向量 6 ； (2)已知 的内角 3 1， ， 的对边分别为 ， ， ，记向量 = 2 , 2 的相伴函数为 ( )，若 (2 ) = 1 且 = 3，求 + 的取值范围； (3)已知 ( 2,3)， (2,6) 2π， ( )为(2)中的函数， ( ) = 2 2 + 3 ，请问在 = ( )的图像上是否存在一 点 ，使得 ⊥ ？若存在，求出点 坐标；若不 ... ...
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