2024-2025 学年上海市奉城高级中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数 = 3 + i 满足条件| | < 5，则实数 的取值范围是( ) A. ( 4,4) B. ( 5,5) C. (0,5) D. ( 3,3) 2.已知 1 , 2 是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是( ) A. = 2 1 + 1 2 , = 2 1 + 1 4 2 B. = 4 1 2 2 , = 2 1 2 C. = 3 1 + 3 2 , = 1 + 2 D. = 1 2 2 , = 2 1 + 4 2 3.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 = 6， = 2 2，若满足条件的三角形有且只 有两个，则角 的取值范围为( ) A. 0, π π π π3 B. 0, 6 C. 3 , 2 D. 0, π 2π 3 ∪ 3 , π 4 2π 4π.设集合 = = sin 2026 + sin 2026 + sin 6π 2026 + + sin 2 π 2026 , ∈ Z, > 0 ，则集合 的元素个数为( ) A. 1011 B. 1012 C. 1013 D. 1014 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.已知复数 = 1 + 2i(其中 i 为虚数单位)，则 Im = ． 6.已知 = (0,1)， = (1,0)，则 在 方向上的数量投影为 ． 7.已知 = (1,6)，点 ( 1, 4)，则点 的坐标为 ． 8.若关于 的方程 3cos + 3 = 0 在 ∈ 上有解，则实数 的取值范围是 ． 9.已知一个扇形的面积和周长均为 16，则该扇形的圆心角大小为 . (用弧度制) 10.函数 ( ) = tan 1 14π + 12π 的最小正周期为 ． 11.已知 的三个顶点 、 、 的坐标分别为(1,2)、(2,3)、(3,7)，则此三角形的面积为 ． 12 sin π = 1.若 为锐角，满足 3 3，则 cos = ． 13.若函数 ( ) = cos , ∈ [0,2 ]与 ( ) = tan 的图象交于 , 两点，则| + | = ． 14.已知虚数 ，其实部为 1，且 + 2 = ( ∈ )，则实数 为 ． 15.某数学建模小组模拟 月距法 测量经度的一个步骤.如图所示，点 , , , , 均在同一个竖直平面内， 点 , 分别代表 月球 与 轩辕十四 恒星名).组员在地面 处测得轩 十四的仰角∠ = 40 ，随后向着 两 天体 方向前进 4 米至 处，测得两 天体 的仰角分别为∠ = 30 、∠ = 75 .若 月球 距离地 第 1页，共 7页 衣的高度 为 3 米，则 轩辕十四 到 月球 的距离约为 ． 16.已知平面向量 ， ，且 = = 2， = 2，向量 满足 2 2 = ，则 的取值范围是 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) 已知 = 2， = 3， = 5． (1)若 与 2 + 垂直，求实数 的值； (2)若 与 2 方向相反，求实数 的值． 18.(本小题 14 分) 已知：cos = 45， ∈ π, 2π ． (1)求 cos2 的值； (2)若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，且终边与单位圆(圆心在原点，半径为 1 的圆) 1 , 3交于第一象限的点 2 2 ，求 cos( )的值． 19.(本小题 14 分) 坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的 海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知 摩天轮最高点距离地面高度为 50 米，转盘直径为 40 米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到 距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动 (单位：分钟)后距离地面的高度为 (单位：米)， 转一周大约需要 15 分钟． 第 2页，共 7页 (1)已知 关于 的函数关系式满足 ( ) = sin( + ) + ( π其中 > 0， > 0，| | ≤ 2 )，求摩天轮转动一 周的解析式 ( )； (2)若游客在距离地面至少 40 米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能 有多长时间有最佳视觉效果？ 20.(本小题 14 分) π 已知函数 ( ) = 2sin2 4 + 3cos2 ． (1)求函数 ... ...
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