2024-2025学年江苏省镇江中学高一下学期期中学情检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为( ) A. B. C. D. 3.已知向量，满足：，，，则( ) A. B. C. D. 4.下列叙述中，正确的是． A. 因为，，所以 B. 因为，，所以 C. 因为，，，所以 D. 因为，，所以 5.已知等边三角形的边长为，设，，，那么( ) A. B. C. D. 6.已知，则( ) A. B. C. D. 7.设，，，则有( ) A. B. C. D. 8.在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中错误的是( ) A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则 10.给出下列命题中，其中正确的选项有( ) A. 若非零向量，满足：，则与共线且同向 B. 若非零向量，满足：，则与的夹角为 C. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为 D. 在中，若，则为等腰三角形 11.在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是( ) A. B. C. 的取值范围是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 13. ． 14.如图，一幅壁画的最高点处离地面，最低点处离地面，现在从离地高的处观赏它． 若处离墙的距离为，则 ； 若要视角最大，则离墙的距离为___ __． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数满足为纯虚数，． 求以及； 设，若，求实数的值． 16.本小题分 在直角坐标系中，已知向量，，其中，为坐标平面内一点． 若，，三点共线，求的值； 若向量与的夹角为，求的值； 若四边形为矩形，求点坐标． 17.本小题分 已知角，满足，，且，． 求的值； 求的大小． 18.本小题分 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，． 若，用，表示，； 求的取值范围． 19.本小题分 在，其中为角的平分线的长交于点；；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，_____． 求角的大小； 若，，为的重心，求的长； 求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.； 15.【详解】设，则， 由为纯虚数， 得，且， 由，得， 由解得，验证知，满足题意． 所以． 由可知，， 由，得， 整理，得， 解得或． 故实数的值为或． 16.【详解】向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； ， 解得， 设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得 解得， 故 17.【详解】因为，，所以； 因为，，所以 所以，， 所以； 因为，，所以， 因为，，所以，， ，得，， ，因为 所以． 18.【详解】由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形． 所以， 因为，，所以， 所以， ． 因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为， 所以， 设，则，． 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为． 所以的取值范围． 19.【详解】方案一：选条件． 由题意可得，． 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，． 方案二：选条件． 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，． 方案三：选条件． 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，． 法延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， ． 法在中，由余弦定理可得，， ，． ... ...
