2024-2025 学年华东师范大学第二附属中学高一下学期期中质量调研 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量 = ( , 1)， = ( 3,2 )，若 与 共线且反向，则实数 的值为( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 1 或 3 2 1.函数 = sin 部分图象是( ) A. B. C. D. 3 5π 100.若 是函数 = sin cos 的一个周期，则正整数 所有可能取值个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 2 = 2 + 2 + , sin = 2sin ， 1, 2, 3依次是边 的四等分点( 1靠近 点)，记 1 = 1 2 , 2 = 1 3 , 3 = 2 3 ，则( ) A. 3 > 2 > 1 B. 3 > 1 > 2 C. 1 > 3 > 2 D. 1 > 2 > 3 二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 5.若 是第四象限角，则点 sin , tan 在第 象限． 6.已知点 ( 3,4) π是角 的终边上一点，则 sin 2 + = ． 7.已知扇形的周长为 8，面积为 4，则这个扇形圆心角的弧度数为 ． 8.已知 (1,3), (4, 1)，求与向量 方向相同的单位向量为 ． 9.若平面向量 ， ， 两两的夹角为120°，且| | = | | = 1，| | = 3，则| + + | = ． 10 2025π.已知扇形的半径为 ，弧长为 ，若其周长为 6，当该扇形面积最大时，其圆心角为 ，则 cos cos + sin sin 2025π = ． 11.已知 sin 1 + sin 2 + + sin 2025 = 2025，则 sin 1 + 2 + + 2025 = ． 第 1页，共 8页 12.已知定义在( π2 , π 3 2 )上的函数 ( ) = + tan + 2 ( 2) + ( ，则不等式 2 ) > 4 的解集是 ． 13.已知 中， = = 4，∠ = 23π，点 在线段 上，且 = 2 ，则 的值为 ． 14 π.如图，在半径为 3 的圆 中，弦 所对的圆周角∠ = 3，且 + = 3 6，则图中阴影部分的面积 为 ． 15.已知函数 ( ) = sin4 cos4 (0 ≤ ≤ 2π)，则关于 的方程： ( ( )) + ( ( ) 1)2 = 0 的实根个数 为 ． 16.已知 1 21 , 2 为单位向量，设向量 = 3 1 + 2 , = 1 + 2 ，向量 , 的夹角为 ，若 1 2 2 ≤ 1，求cos 的取值范围 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 14 分) ∈ 0, π ∈ 0, π sin( ) = 4 cos( + ) = 5已知 ， 2 ， 5， 13． (1)分别求 cos( )和 sin( + )的值； (2)求 cos 的值． 18.(本小题 14 分) 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知 1 ， 2 是两个夹角为 60°的单位向量， = 1 + 3 2 ， = 5 1 + 2 ． (1)求 ， ； (2)设 = 1 ，是否存在实数 ，使得 是以 为斜边的直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由． 19.(本小题 14 分) 如图，已知 是边长为 2 的正三角形．如图 1 , 2是 边的两个四等分点． 第 2页，共 8页 → → → (1) 1若 为线段 1上一点，且 = + 12 ，求实数 的值； → → (2)若 为线段 2上的动点，求 的最小值． 20.(本小题 14 分) 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利 在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 ，该点 即称为托里拆利点(以下简称“ 点”).通过研究发现三角形中的“ 点”满足到三角形三个顶点的距离和 + + 最小.当 的三个内角均小于120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为“ 点”；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“ 点”.试用以上知识解决下面问题：已 知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ． (1)若 3 sin = 3 cos ，则 ①求 ； ②若 = 4，设点 为 的“ 点”，求 + + ； (2)若 cos cos = ，设 点为 的“ 点”，| | + | | = 2 | |，求实数 的最小值． 21.(本小题 14 分) 定义在 R 上的函数 = ( )，若存在实数 ... ...
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