2024-2025 学年广东省江门市鹤山市纪元中学高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在 中，已知 = 3， = 2， = 60 ，则角 的值为( ) A. 45 或135 B. 45 C. 135 D. 30 或150 2.已知复数 满足： i + 2 = 1 + i，则 =( ) A. 35+ 1 5 i B. 1+ 1 i C. 1 + 15 5 3 i D. 1 1 3 + 3 i 3 .已知角 的终边上一点 的坐标为(1,2)，则 tan( + 4 ) =( ) A. 1 B. 13 3 C. 3 D. 3 4 π.下列函数中，在 0, 2 上递增，且周期为π的偶函数是( ) A. = sin B. = cos2 C. = tan D. = sin 5.如果 , 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) 2 2 A. = B. 2 = C. 2 ≠ D. = 1 → → 6.在 中， = c， = ，若点 满足 = 3 ，则 =( ) 1 → → → → → → → →A. 4 + 3 4 B. 7 4 3 4 C. 3 1 3 7 4 + 4 D. 4 + 4 7.若 tan = 2tan , sin( + ) = 13，则 sin( ) =( ) A. 19 B. 1 C. 2 D. 29 9 9 8.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角 形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形 的边长为 4，则勒洛三角形的面积为( ) A. 4π 3 B. 4π 2 3 C. 8π 3 D. 8π 8 3 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 第 1页，共 7页 9.若复数 1 = 2 i, 2 = 3 + 4i，则下列说法正确的是( ) A. 2 = 2 B. 1 2的虚部是 5i C.在复平面内， 2所对应的点在第四象限 D.在复数范围内， 21是方程 4 + 5 = 0 的根 10.设向量 = (2,0), = (1,1)，则( ) A. = B. 与 π的夹角是4 C. ( ) ⊥ D.向量 在向量 上的投影向量是 11.已知函数 ( ) = sin2 和 ( ) = sin 2 π3 ，则( ) A. ( )和 ( )的最小正周期相同 B. ( ) π和 ( )在区间 0, 4 上的单调性相同 C. ( ) π的图象向右平移3个单位长度得到 ( )的图象 D. ( )和 ( ) π的图象关于直线 = 3对称 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知向量 = (2, ), = ( 1, )，若 2 + 与 垂直，则正数 的值为 ． 13.已知 tan = 2，则sin2 3sin cos = 14 ( ) = sin( + )( > 0, > 0) 2025π.已知函数 的部分图象如图所示，则 2 = 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 15 分) 已知 = 4， = 2，且 与 的夹角为 60°． (1)求(2 + ) (2 )的值 (2)求 2 的值； (3)若向量 2 与 3 平行，求实数 的值． 第 2页，共 7页 16.(本小题 13 分) 已知 sin = 3 π5，且 ∈ 2 , π ． (1) sin 2π +cos 3π+ 求 π 的值；sin 2 sin π (2) π已知 ∈ 0, 2 ，且 sin( + ) = 5 13，求 cos 的值． 17.(本小题 15 分) 如图，甲船在距离 港口 24 海里并在南偏西 20°方向的 处驻留等候进港，乙船在 港口南偏东 40°方向的 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为 31 海里． (1)求∠ 的正弦值； (2)当乙船行驶 20 海里到达 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的 距离． 18.(本小题 17 分) 函数 ( ) = 4sin cos 4cos2 + 2， (1)把 ( )的单调减区间 (2)求 ( ) π在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值及取最值时相应 的值 (3)把 = ( )图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍得到函数 = ( )的图象，再把函数 = ( )图象上 π 所有的点向左平移4个单位长度，得到函数 = ( )的图象，若函数 = ( ) 2在区间[0, ]上至少有 20 个零点，求 的最小值． 19.(本小题 17 分) 在锐角 中， , , 是角 , , 的对边，若满足 3 = sin + ... ...
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