第四章 数列 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

第四章　数　　列 1. 构建本章知识网络，掌握数列的定义、分类及表示方法． 2. 掌握等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、性质及其应用． 活动一 本章知识网络 知识结构框图： 活动二 基本知识提炼与整理 数列的概念及表示方法： (1) 定义：按照确定的顺序排列的一列数； (2) 表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法和递推公式法）； (3) 数列的前n项和公式与通项公式an的关系； (4) 数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 例1　已知an＝(n∈N*)，求数列{an}的最大项． 例2　（2024荆州期末）已知数列{an}满足a1＝48，an＋1＝若ak＝13，则k的值为(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 例3　（2024河南期末）已知数列{an}是递增数列，an＝m(2n－1)－n2，n∈N*，则实数m的取值范围为(　　) A. (2，＋∞) B. (1，2) C. D. (2，3) 活动三　掌握等差数列与等比数列的综合应用　 例4　已知正项等比数列{an}满足a4＝2a3＋3a2，Sn为其前n项和，且S4＝40. (1) 求an； (2) 若等差数列{bn}满足：b1＝a1，b4＝a1＋a3. ①证明：当n＝1时，是数列{bn}中的项，并指出是第几项； ②求出所有的n，使得是数列{bn}中的项． 例5　（2024青岛期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层的球数构成一个数列{an}． (1) 写出an与an＋1的递推关系，并求数列{an}的通项公式； (2) 记等比数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＋1＝2Sn＋2，在bn与bn＋1之间插入n个数，若这n＋2个数恰能组成一个公差为dn的等差数列，求数列{an·dn}的前n项和Tn. 例6　（2024上海闵行区月考）若有穷数列a1，a2，…，an（n是正整数），满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”． (1) 已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{bn}的每一项； (2) 对于确定的正整数m>1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，…，2m-1依次是该数列中连续的项；当m＝10时，求其中一个“对称数列”前19项的和S19. 例7　在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn. (1) 若{an}是等差数列，求k的值； (2) 若a＝1，k＝－，求Sn； (3) 是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 1. （2024岳阳开学考试）在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝，则a12的值为(　　) A. －2 B. － C. 1 D. 4 2. （2024福州期末）已知数列{an}的首项为1，且(n＋2)an＋1＝2nan对任意正整数n恒成立，则数列的前n项和Sn为(　　) A. B. C. D. 3. （多选）（2024泰州期末）若数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}的通项公式为bn＝3n-1，则下列说法中正确的是(　　) A. an＝2n－1 B. 数列{bn}的前n项和Tn＝ C. 若cn＝，则数列{cn}的前n项和Cn< D. 若dn＝，数列{dn}的前n项和为Dn，则不存在正整数m，使得Dm＝ 4. 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　． 5. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝(－2)n+2. (1) 计算a2，a3，猜想数列{an}的通项公式并加以证明； (2) 设Sn为数列{an}的前n项和，求证：数列{Sn}中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列． 第四章　数　　列 【活动方案】 例1　因为an＝， 所以an＋1＝， 所以an＋1－an＝ ... ...