第五章 一元函数的导数及其应用 1. 了解导数的概念，理解导数的几何意义、物理意义． 2. 掌握基本初等函数的导数公式、导数的运算法则及简单复合函数的导数． 3. 掌握导数在研究函数性质中的应用． 4. 理解导数在实际问题中的应用． 活动一 知识整合 知识结构框图： 活动二 导数的基本运算 例1 求下列函数的导数： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝； (3) f(x)＝lg x＋cos x； (4) f(x)＝2x＋ln x. (5) f(x)＝sin 3x cos x； (6) f(x)＝ln (2x＋1)＋32x. 活动三 理解导数的几何意义 例2 设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，曲线C在点P处的切线与 x轴 交于点Q(－a，0)，求实数a的值． 活动四 掌握利用导数解决函数的单调性的方法 例3 （2024遂宁月考）已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x. (1) 若函数y＝f(x)在区间[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围； (2) 当a＝1时，讨论函数f(x)在区间(0，t]（t>0)上的单调性． 例4 （2024张家口月考）已知函数f(x)＝xex，g(x)＝x＋ln x＋m. (1) 求函数f(x)的极值； (2) 若g(x)≤f(x)恒成立，求实数m的取值范围． 活动五 掌握利用导数解决函数的极值与最值问题的方法 例5 设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f（1)）处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. (1) 求a，b，c的值； (2) 求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值． 例6 （2024枣庄阶段练习）已知函数f(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x. (1) 讨论f(x)的单调性； (2) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 活动六 导数在实际问题中的应用 例7 某物流公司购买了一块长AM＝30m，宽AN＝20m的矩形地AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块的对角线MN上，点B，D分别在边AM，AN上．假设AB的长度为xm. (1) 要使仓库占地ABCD的面积不小于144m2, AB的长度应在什么范围内？ (2) 若规划建设仓库的高度是与AB长度相同的长方体形建筑，当AB的长度为多少时？仓库的容量最大．（墙体楼板所占空间忽略不计） 活动七 导数的综合应用 例8 设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R，a∈R). (1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f（2)）处的切线方程； (2) 当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值； (3) 当a>3时，证明存在k∈[－1，0]，使得不等式f(k－cos x)≥f(k2－cos2x)对任意的x∈R恒成立． 1．（2024温州期末）已知函数f(x)满足f(x)＝f′sin x－cos x，则f′的值为( ) A. B. C. － D. － 2. 函数f(x)＝x2－ln x的单调减区间是( ) A. （0，） B. [，＋∞） C. （－∞，－），（0，） D. [－，0），（0，） 3. （多选）（2024淮南开学考试）已知函数f(x)＝，则下列命题中正确的是( ) A. 曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是x－ey－1＝0 B. 函数f(x)有极大值，且极大值点x0∈(1，2) C. f(2)0，所以a＝. 例3 (1) 因为f(x)＝x2＋ax－ln x， 所以f′(x)＝2x＋a－. 由题意，得f′(x)≥0 ... ...
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