华二2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若是第四象限角，则点在第 象限. 2．已知点是角的终边上一点，则 ． 3．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 . 4．已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 5．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ． 6．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 7．已知，则 . 8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 . 9．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 10. 如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为 . 11．已知函数，则关于的方程：的实根个数为 . 12．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13．已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ）. A．3 B．1 C． D．或3 14．函数部分图象是（ ）. A． B． C． D． 15．若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）. A．2 B．3 C．4 D．5 16．在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ）. A． B． C． D． 三、解答题 （本大题满分78分，17、18题各14分，19、20、21题各18分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．已知，，，. （1）求和的值； （2）求的值. 18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，． （1）求，； （2）设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）若为线段上一点，且，求实数的值； （2）若为线段上的动点，求的最小值． 20．三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，求的大小； （2）在（1）的条件下，若，设点为的“点”， 求； （3）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 试卷第1页，共5页 21. 定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； （1）已知，判断它是否为“函数”； （2）若函数是“函数”，当，，求在上的解. （3）判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 华二2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若是第四象限角，则点在第 象限. 【答案】三 2．已知点是角的终边上一点，则 ． 【答案】 3．已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为 . 【答案】2 4．已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 【答案】 5．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ． 【答案】2 6．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ． 【答案】 7．已知，则 . 【答案】1 8．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 . 【答案】 9．已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】8 10. 如图，在半径为3的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 11．已知 ... ...
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