第三节 不等式及其性质 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质,并掌握不等式性质的简单应用. 教材再回首 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a
0)或>1(a,b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b ;ab,b>c ; ab a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0 ; a>b,c<0 c的 符号 同向 可加性 a>b,c>d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0 同向, 同正 可乘方性 a>b>0,n∈N* an>bn 同正 可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2 > 同正 解题结论拓展 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0 <; (2)a<0b>0,0; (4)0b>0,m>0,则 (1)<;>(b-m>0); (2)>;<(b-m>0). 典题细发掘 1.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 ( ) A.a>b B.a=b C.a0,则下列结论正确的是 ( ) A.-1<-abc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a 4.(人A必修①P43T5改编)已知2q D.p≥q (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 (用“<”连接). |思维建模| (1)作差法的步骤和关注点 ①步骤:作差并变形 判断差与0的大小 得结论. ②关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形. (2)作商法的步骤和关注点 ①步骤:作商并变形 判断商与1的大小 得结论. ②关注点:作商时各式的符号应相同,如果a,b均小于0,所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化,指、对数恒等变形等. [即时训练] 1.若m=x2-1,n=2(x+1)2-4(x+1)+1,则m与n的大小关系是 ( ) A.mn C.m≥n D.m≤n 2.若P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为 . 拓展与建模:糖水不等式 (1)教材母题:(人A必修①P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设a>b>0,m>0,则有<. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>. (2)对数型糖水不等式 ①设n∈N*,且n>1,则有logn+1nb>1,m>0,则有logabb>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m). [示例] 比较大小:log74 log96. 解题观摩: 法一 log74-log96=(log74-1)-(log96-1)=log7-log9 |思维建模| 判断命题真假的2种方法 (1)直接法:直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件. (2)特殊值法:注意取值要遵循三个原则:①满足题设条件;②取值要简单,便于验证计算;③所取的值要有代表性. [即时训练] 3.[多选]下列不等式中,结论正确的是 ( ) A.若a>b,>,则ab<0 B.若<<0,则ab,a2>b2,则a>b>0 D ... ... 