第一章 第四节　第1课时　基本不等式的简单应用（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（人教A版）一轮复习

第1课时　基本不等式的简单应用 教材再回首 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:　　　　　. (2)等号成立的条件:当且仅当　　　时,等号成立. 2.三个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (3)若a>0,b>0,则≤≤ ≤ ,当且仅当a=b时,等号成立. 3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　　　,几何平均数为　　　.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当　　　时,x+y有最小值　　　.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当　　　时,xy有最大值　　　.(简记:和定积最大) 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不等式ab≤与≥ 成立的条件是相同的. (　　) (2)函数y=x+的最小值是2. (　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4. (　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件. (　　) 2.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 (　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 3.(苏教必修①P61T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　. 方法一　直接法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　 (1)已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　) A.2 B.2 C.4 D.5 (2)已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为　　　　. |思维建模|　 利用基本不等式求最值的策略 (1)求“和”式的最小值时,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值;求“积”式的最大值时,一般运用变形ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0). (2)注意检验等号成立的条件是否满足. [即时训练] 1.若正数a,b满足ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 方法二　配凑法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)若x<,则f(x)=3x+1+有 (　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 (2)已知00)、+的形式等,然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件. [即时训练] 3.已知实数x>1,则函数y=2x+的最小值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2025·重庆部分学校联考)已知a>b>0,则a++的最小值为 (　　) A.2 B. C.3 D.3 方法三　常数代换法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(2025·扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.4 C.6 D.2+3 |习得方略| 　　常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值. |思维建模| 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. [即时训练] 5.(2025·安庆模拟)已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x-6y的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.8 D.12 方法四　构造不等式法求最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例4] (1)(人A必修①P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为 (　　) A.9 B.6 C.3 D.12 (2)若本 ... ...