第2课时 基本不等式的综合应用 题点一 利用基本不等式求参数值或范围 [例1] 若存在m∈,使不等式+≤k成立,则k的最小值是 ( ) A.8 B.10 C.16 D.24 |思维建模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化. [即时训练] 1.对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为 ( ) A.{m|-22} C.{m|m>-2} D.{m|m≤-2} 2.已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-8) B.(-8,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞) 题点二 基本不等式与其他知识相结合 [例2] 已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为 ( ) A.4 B.9 C.3+2 D.8 |思维建模| 当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.解题时注意基本不等式成立的条件. [即时训练] 3.(2025·赣州模拟)已知平面向量a=(2λ2+1,λ),b=(μ,1),其中λ>0,若a∥b,则实数μ的取值范围是 ( ) A.[2,+∞) B.[2,+∞) C.[,+∞) D.[1,+∞) 4.已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0对称,则+的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.6 D.4 题点三 基本不等式的实际应用 [例3] 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示,要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住,菜园间留有一个十字形过道,纵向部分路宽为1 m,横向部分路宽为2 m. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时,所用篱笆最短 此时该菜园的总面积为多少 (2)为节省土地,使菜园的总面积最小,此时矩形用地的长和宽分别为多少 快审准解:(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m,用x表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可; (2)用x表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可. |思维建模| 基本不等式实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. [即时训练] 5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则平整完这块场地所需的最少费用是 ( ) A.10 000元 B.10 480元 C.10 816元 D.10 818元 6.李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单位:万元)符合函数模型m=3-.若要使这次促销活动获利最多,则应投入广告费用 万元,获得总利润为 万元. 第2课时 基本不等式的综合应用 题点一 [例1] 选A 因为m∈,所以0<2m<1,2m+(1-2m)=1,则+=[2m+(1-2m)]=++4≥2+4=8,当且仅当=,即m=时取等号.因为存在m∈,使不等式+≤k成立,所以k≥8,即k的最小值为8. [即时训练] 1.选C 因为对任意的x∈(-∞,0),x2-mx+1>0恒成立, 所以mx=x+对任意的x∈(-∞,0)恒成立. 因为x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞), 所以x+=-≤-2=-2, 当且仅当-x=,即x=-1时取等号,所以m>-2. 2.选D 不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立.∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6. 题点二 [例2] 选B 因为函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(-2, ... ...
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