第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 教材再回首 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x1,x2 (x1
0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x-a)· (x-b)>0 {x|xb} (x-a)· (x-b)<0 {x|a0(<0) f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. ( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则a<0. ( ) (3)若ax2+bx+c>0恒成立,则a>0且Δ<0. ( ) (4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0. ( ) 2.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为 ( ) A.{x|-25} C.{x|-52} 3.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 ( ) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nn} D.{x|-m0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 |习得方略| 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.当分式右侧不为0时,可通过移项、通分、合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母. |思维建模| 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式. (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. [即时训练] 1.已知集合A={x|1<2x-1<},B={x|y=},则A∪B= ( ) A.{x|1≤x≤2} B. C. D. 2.(2024·上海高考)不等式x2-2x-3<0的解集为 . 题点二 含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). |思维建模| 含参数的不等式分类讨论的关键点 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. [即时训练] 3.解关于x的不等式x2-(a-2)x-2a>0(a∈R). 题点三 三个“二次”之间的关系 [例3] (多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-4或x≥5},则下列说法正确的是 ( ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x< ... ... 